离散数学-图论1216版.ppt

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1、第8章 图论,8.1 图的基本概念 8.2 路径和回路8.图的矩阵表示8.二部图8.5 平面图8.6 树8.7 有向树8.8 运输网络,问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，再回到起点。欧拉在1736年解决了这个问题。,判定法则：如果通奇数座桥的地方不止两个，那么满足要求的路线便不存在了。如果只有两个地方通奇数座桥，则可从其中任何一地出发找到所要求的路线。若没有一个地 方通奇数座桥，则从任何一地出发，所求的路线都能实现,定义8.11 一个图G是一个三重组V(G),E(G),G,其中V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,G是从边集E到结点偶对集合上的函

2、数。一个图可以用一个图形表示。例1设G=V(G),E(G),G,其中V(G)=a,b,c,d,E(G)=e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,G(e1)=(a,b),G(e2)=(a,c),G(e3)=(b,d),G(e4)=(b,c),G(e5)=(d,c),G(e6)=(a,d),G(e7)=(b,b)则图G可用图8.11表示。,8.1 图的基本概念,8.1.1 图,图 8.1-1,定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若边e所对应的偶对a,b是有序的,则称e是有向边。有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的

3、。若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同。每一条边都是有向边的图称为有向图,第三章中的关系图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。,约定用a,b表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向边又表示无向边时用a,b。有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无向图。这个无向图习惯

4、上叫做该有向图的底图。在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回路。,在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数称为边a,b的重数。仅有一条时重数为1,无边时重数为0。定义8.12含有平行边的图称为多重图。非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。在图8.13中,(a)、(b)是多重图,

5、(c)是线图,(d)是简单图,关系图都是线图。,图 8.13,定义 8.13 赋权图G是一个三重组V,E,g或四重组V,E,f,g,其中V是结点集合,E是边的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。右图给出一个赋权图。V=v1,v2,v3;E=e1,e2=(v1,v2),(v2,v3);f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;g(e1)=4.6,g(e2)=7.5,8.1.2 结点的次数定义8.14在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v);以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度),记为deg-(v);结点v

6、的引出次数和引入次数之和称为结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。孤立结点的次数为零。,定理8.11 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为V=v1,v2,vn,则,证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数之和为m条边所提供,所以上式成立。在有向图中,上式也可写成:,定理8.12在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,n1)。次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,n2)。由上一定理得,因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第

7、二项为奇数,两项之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。,定义8.15各结点的次数均相同的图称为正则图,各结点的次数均为k时称为k正则图。下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3正则图。,图 8.15,8.1.3 图的同构 定义设G=V,E和G=V,E是两个图,若存在从V到V的双射函数,使对任意a、bV,a,bE当且仅当(a),(b)E,并且a,b和(a),(b)有相同的重数,则称G和G是同构的。上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一对应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系(在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图是同构的,两个同构的图除了顶点和边的

8、名称不同外实际上代表同样的组合结构。,例2(a)、(b)两图是同构的。因为可作映射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边1,3,1,2,2,4和3,4分别映射到v3,v4,v3,v1,v1,v2和v4,v2,而后面这些边又是(b)中仅有的边。,图 8.16,两图同构的必要条件:(1)结点数相等;(2)边数相等;(3)度数相同的结点数相等。但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以上3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b)中的y仅与一个次数为1的点w邻接。,图

9、8.17,8.1.4 图的运算图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下:定义8.17设图G1=V1,E1和图G2=V2,E2(1)G1与G2的并,定义为图G3V3,E3,其中V3=V1V2,E3=E1E2,记为G3=G1G2。(2)G1与G2的交,定义为图G3V3,E3,其中V3=V1V2,E3=E1E2,记为G3=G1G2。,(3)G1与G2的差,定义为图G3V3,E3,记为G3=G1-G2。其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)E3中边所关联的顶点。(4)G1与G2的环和,定义为图G3V3,E3,G3=(G1G2)-(G1G2),记为G3=G1G2。,除以上4种运算外,还有以下

10、两种操作:(1)删去图G的一条边e;(2)删去图G的一个结点v。它的实际意义是删去结点v和与v关联的所有边。,图 8.19,8.1.5 子图与补图定义8.18设G=V,E 和G=V,E是两个图。(1)如果V V和E E,则称G是G的子图。如果V V和E E,则称G G的真子图。(注意:“G是图”已隐含着“E中的边仅关联V中的结点”的意义。)(2)如果V=V和E E,则称G为G的生成子图。(3)若子图G中没有孤立结点,G由E唯一确定,则称G为由边集E导出的子图。,(4)若在子图G中,对V中的任意二结点u、v,当u,vE时有u,vE,则G由V唯一确定,此时称G为由结点集V导出的子图。,图 8.11

11、0,定义8.19在n个结点的有向图G=V,E中,如果E=VV,则称G为有向完全图;在n个结点的无向图G=V,E中,如果任何两个不同结点间都恰有一条边,则称G为无向完全图,记为Kn。图8.111是4个结点的有向完全图和无向完全图的图示。,图8.1-11,定义8.110 设线图G=V,E有n个顶点,线图H=V,E也有同样的顶点,而E是由n个顶点的完全图的边删去E 所得,则图H称为图G的补图,记为,显然,。,8.2 路径和回路,8.2.1 路径和回路定义8.21在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一条路径是图的一个点边交替序列（v0e1v1e2v2envn）,其中vi-1和vi分别是边ei的始点和终点

12、,i=1,2,n。在序列中,如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径,如果同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。,基本路径也一定是简单路径。,如果路径的始点v0和终点vn相重合,即v0=vn,则此路径称为回路,没有相同边的回路称为简单回路,通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路。(a)P1=(v1e1v2e7v5)是一条基本路径。(b)P2=(v2e2v3e3v3e4v1e1v2)是一简单回路但非基本回路。,图8.2-1,在无向图上,以上各术语的定义完全类似,故不重复。路径和回路可仅用边的序列表示,在非多重图时也可用顶点序列表示。,定义8.22 路径P中所含边的条数称为路径P

13、的长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意习惯上不定义长度为0的回路。)定理8.21在一个具有n个结点的简单图G=V,E中,如果从v1到v2有一条路径,则从v1到v2有一条长度不大于n-1的基本路径。,简证 假定从v1到v2存在一条路径,(v1,vi,v2)是所经的结点,如果其中有相同的结点vk,例(v1,vi,vk,vk,v2),则删去从vk到vk的这些边,它仍是从v1到v2的路径,如此反复地进行直至(v1,vi,v2)中没有重复结点为止。此时,所得的就是基本路径。基本路径的长度比所经结点数少1,图中共n个结点,故基本路径长度不超过n-1。,定理8.22在一个具有n个结点的简单图G=

14、V,E中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n的基本回路。定义8.23在图G=V,E中,从结点vi到vj最短路径的长度叫从vi到vj的距离,记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径,则d(vi,vj)=。注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地满足以下性质:(1)d(vi,vj)0;(2)d(vi,vi)=0;(3)d(vi,vj)+d(vj,vk)d(vi,vk)。,8.2.2 连通图定义8.24设G=V,E是图,且vi、vjV。如果从vi到vj存在一条路径,则称vj从vi可达。vi自身认为从vi可达。定义8.25在无向图G中,如果任两结点

15、可达,则称图G是连通的;如果G的子图G是连通的,没有包含G的更大的子图G是连通的,则称G是G的连通分图(简称分图)。,图8.22,一个无向图或者是一个连通图,如图8.22(a)所示,或者是由若干个连通分图组成,如图8.22(b)所示。,定理8.23设G是任一(n,m)无向简单图,是其分图个数,则,定义8.26在有向图中,如果在任两结点偶对中,至少从一个结点到另一个结点是可达的,则称图G是单向连通的;如果在任两结点偶对中,两结点都互相可达,则称图G是强连通的;如果它的底图是连通的,则称图G是弱连通的。,强连通的也一定是单向连通和弱连通的,单向连通的一定是弱连通的,但其逆均不真。在下图中,(a)是

16、强连通的,(b)是单向连通的,(c)是弱连通的。,定义8.27在有向图G=V,E中,G是G的子图,若G是强连通的(单向连通的,弱连通的),没有包含G的更大子图G是强连通的(单向连通的,弱连通的),则称G是G的强分图(单向分图,弱分图)。在下图中,强分图集合是:1,2,3,e1,e2,e3,4,5,6,7,8,e7,e8,单向分图集合是:1,2,3,4,5,e1,e2,e3,e4,e5,6,5,e6,7,8,e7,e8弱分图集合是:1,2,3,4,5,6,e1,e2,e3,e4,e5,e6,7,8,e7,e8,8.2.3 赋权图中的最短路径设G=V,E,W是个赋权图,W是从E到正实数集合的函数,

17、边i,j的权记为W(i,j),称为边的长度。若i和j之间没有边,那么W(i,j)=。路径P的长度定义为路径中边的长度之和,记为W(P)。图G中从结点u到结点v的距离记为d(u,v),定义为 minW(P)|P为G中从u到v的路径 当从u到v不可达时,本小节主要讨论在一个赋权的简单连通无向图 G=V,E,W中,求一结点a(称为源点)到其它结点x的最短路径的长度,通常称它为单源问题。下面介绍1959年迪克斯特拉(E.W.Dijkstra)提出的单源问题的算法,其要点如下:(1)把V分成两个子集S和T。初始时,S=a,T=V-S。(2)对T中每一元素t计算D(t),根据D(t)值找出T中距a最短的一

18、结点x,写出a到x的最短路径的长度D(x)。(3)置S为Sx,置T为T-x,若T=,则停止,否则再重复2。,算法中步骤(1)和(3)是清楚的,现在对2给以说明。D(t)表示从a到t的不包含T中其它结点的最短通路的长度,但D(t)不一定是从a到t的距离,因为从a到t可能有包含T中另外结点的更短通路。首先我们证明“若x是T中具有最小D值的结点,则D(x)是从a到x的距离”,用反证法。若另有一条含有T中另外结点的更短通路,不妨设这个通路中第一个属于T-x的结点是t1,于是D(t1)D(x),但这与题设矛盾。可见以上断言成立。,其次说明计算D(t)的方法。初始时,D(t)=W(a,t),现在我们假设对

19、T中的每一个t已计算了D值。设x是T中D值最小的一个结点,记S=Sx,T=T-x,令D(t)表示T中结点t的D值,则 D(t)=minD(t),D(x)+W(x,t)现分情况证明上式。,(a)如果从a到t有一条最短路径,它不包含T中的其它结点,也不含x点,则D(t)=D(t)。(b)如果从a到t有一条最短路径,它从a到x不包含T中的结点,接着是边W(x,t),在此情况下,D(t)是D(x)+W(x,t)。,例1 考虑图8.27中的图,起初S=a,T=v1,v2,v3,v4,D(a)=0,D(v1)=2,D(v2)=+,D(v3)=+,D(v4)=10。因为D(v1)=2是T中最小的D值,所以选

20、x=v1。置S为Sx=a,v1,置T为T-x=v2,v3,v4。然后计算:D(v2)=min(+,2+3)=5 D(v3)=min(+,+)=+D(v4)=min(10,2+7)=9 如此类推,直至T=终止。整个过程概括于表8.21中。,图 8.27,表 8.21,8.2.4 欧拉路径和欧拉回路 哥尼斯堡(Konigsberg,现加里宁格勒)位于普雷格尔(Pregel)河畔,河中有两岛。城市的各部分由7座桥接通,如图8.28(a)所示。古时城中居民热衷于一个问题:游人从任一地点出发,怎样才能做到穿过每座桥一次且仅一次后又返回原出发地。1736年欧拉用图论方法解决了此问题,写了第一篇图论的论文,

21、从而成为图论的创始人。,不难看出,如果用结点代表陆地,用边代表桥,哥尼斯堡七桥问题就等价在于图8.28(b)中找到这样一条路径,它穿程每条边一次且仅一次。穿程于图G的每条边一次且仅一次的路径,称为欧拉路径。穿程于图G的每条边一次且仅一次的回路,称为欧拉回路,具有欧拉回路的图称为欧拉图。显然,具有欧拉路径的图除孤立结点外是连通的,而孤立结点不影响欧拉路径的讨论。因此,下边讨论欧拉路径有关问题时均假定图是连通的。,图 8.28,定理8.24无向连通图G具有一条欧拉路径当且仅当G具有零个或两个奇数次数的顶点。证必要性。如果图具有欧拉路径,那么顺着这条路径画出的时候,每次碰到一个顶点,都需通过关联于这

22、个顶点的两条边,并且这两条边在以前未画过。因此,除路径的两端点外,图中任何顶点的次数必是偶数。如果欧拉路径的两端点不同,那么它们就是仅有的两个奇数顶点,如果它们是重合的,那么所有顶点都有偶数次数,并且这条欧拉路径成为一条欧拉回路。因此必要性得证。,充分性。我们从两个奇数次数的顶点之一开始(若无奇数次数的顶点,可从任一点开始),构造一条欧拉路径。以每条边最多画一次的方式通过图中的边。对于偶数次数的顶点,通过一条边进入这个顶点,总可通过一条未画过的边离开这个顶点。因此,这样的构造过程一定以到达另一个奇数次数顶点而告终(若无奇数次数的顶点,则以回到原出发点而告终)。如果图中所有边已用这种方法画过,显

23、然,这就是所求的欧拉路径。如果图中不是所有边被画过,我们去掉已画过的边,得到由剩下边组成的一个子图,这个子图的顶点次数全是偶数。,并且因为原来的图是连通的,因此,这个子图必与我们已画过的路径在一个点或多个点相接。由这些顶点中的一个开始,我们再通过边构造路径,因为顶点次数全是偶数,因此,这条路径一定最终回到起点。我们将这条路径已构造好的路径组合成一条路径。如果必要,这一论证重复下去,直到我们得到一条通过图中所有边的路径,即欧拉路径。因此充分性得证。,例2(a)一笔画问题。就是判断一个图形能否一笔画成,实质上就是判断图形是否存在欧拉路径和欧拉回路的问题。例如,图8.29(a)和(b)均可一笔画成,

24、因为符合存在欧拉路径和欧拉回路条件。,(b)我们想知道是否可能将28块不同的多米诺骨牌排成一个圆形,使得在这个排列中,每两块相邻的多米诺骨牌其相邻的两个半面是相同的。我们构造一个具有7个顶点的图,这些顶点对应于空白、1、2、3、4、5和6,在每两个顶点之间都有一条边,我们把这条边当作一块多米诺骨牌,并且把这条边相关联的两个顶点当作它的两个半面。,图 8.29,定理8.25一个有向连通图具有欧拉回路,当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数。一个有向连通图具有欧拉路径,当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数,可能有两个顶点是例外,其中一个顶点的引入次数比它的引出次数大1,另一个顶点的引入次

25、数比它的引出崐次数小1。证明是类似的,不重复。,例3布鲁英(DeBruijn)序列。现以旋转鼓设计为例说明布鲁英序列。旋转鼓的表面分成8块扇形,如图8.210所示。图中阴影区表示用导电材料制成,空白区用绝缘材料制成,终端a、b和c是接地或不是接地分别用二进制信号0或1表示。因此,鼓的位置可用二进制信号表示。试问应如何选取这8个扇形的材料使每转过一个扇形都得到一个不同的二进制信号,即每转一周,能得到000到111的8个数。,图 8.210,图 8.210,8.2.5 哈密尔顿路径与哈密尔顿回路 在无向图G=V,E中,穿程于G的每个结点一次且仅一次的路径称为哈密尔顿路径。穿程于G的每个结点一次且仅

26、一次的回路称为哈密尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。哈密尔顿,爱尔兰数学家,1859年他首先提出这一类问题。它的问题如下:如何沿12面体的棱线,通过每个角一次且仅一次?(称为环游全世界游戏。),图 8.211,定理8.26 若G=V,E是哈密尔顿图,则对V的每个非空真子集S均成立:(G-S)S 这里|S|表示S中的顶点数,(G-S)表示G删去顶点集S后得到的图的连通分图个数。证 设C是图的一条哈密尔顿回路,则对于V的任一非空真子集S有(C-S)|S|,这里(C-S),是C删去子集S后得到的图的分图个数。但G是由C和一些不在C中的边构成的,C-S是G-S的生成子图,所以(G-S)(C

27、-S)|S|应用本定理可以判定某些图不是哈密尔顿图,例如,图8.212所示的图,删去其中3个黑点,即知此图不符合必要条件,因而不是哈密尔顿图。但一般要考察多个真子集,应用不方便,例4给出了一种较简便的否定一个图是哈密尔顿图的方法,但也不是通用的。,图 8.212,例4 证明图8.213(a)中的图没有哈密尔顿路径。证用A标记顶点a,所有与A邻接的顶点标记为B。继续不断地用A标记所有邻接于B的顶点,用B标记所有邻接于A的顶点,直到所有顶点标记完,得到如图8.213(b)所示的图,图中有3个顶点标A和5个顶点标B,标号A和B崐相差2个,因此不可能存在一条哈密尔顿路径。,图 8.213,定理8.26

28、中的条件不是充分的,图8.15中给出的彼得森图,它对任意SV都满足(G-S)|S|,但不是哈密尔顿图。定理8.27设G=V,E是具有n个顶点的简单无向图,若在G中每一对顶点的次数之和大于等于n,则在G中存在一条哈密尔顿回路。,证用反证法。设G是符合题设条件,但不是哈密尔顿图,通过把不相邻的顶点加边,总可得到一个最大的非哈密尔顿图G。由于G是最大的非哈密尔顿图,所以给G的不相邻的顶点u和v加上边(u,v),这时有(v1,v2,vn,v1)这条哈密尔顿回路,不妨设v1=u,vn=v,因为回路必经过(u,v)。于是必存在两个相邻的顶点vi和vi-1使v1与vi,vi-1与vn相邻,如图8.214所示

29、。若不然,设在G中v1与 相邻,而vn与 都不相邻,则deg(vn)n-k-1,这样deg(v1)+deg(vn)n-1n,与题设不符。,图 8.214,v1与vi相邻,vn与vi-1相邻,于是G存在一条哈密尔顿回路(v1,v2,vi-1,vn,vn-1,vi+1,vi,v1),但这与G是最大的非哈密尔顿图矛盾。证毕。容易看出定理8.27的条件是充分的但非必要。例如,设G是一个n边形,n5,任何两个顶点的度数之和是4,但在G中有一条哈密尔顿回路。,推论8.27在简单无向图中,若每一顶点的度数,则该图是哈密尔顿图。在有向图中,也可类似地定义出哈密尔顿有向回路和哈密尔顿有向路径,但结论不全相似,限

30、于篇幅不详述了,现在介绍一个与哈密尔顿回路有联系的问题巡回售货员问题。,一个售货员希望去访问n个城市的每一个,开始和结束于v1城市。每两城市间都有一条直接通路,我们记vi城市到vj城市的距离为W(i,j),问题是去设计一个算法,它将找出售货员能采取的最短路径。这个问题用图论术语叙述就是:G=V,E,W是n个顶点的无向完全图,这里W是从E到正实数集的一个函数,对在V中任意三点vi,vj,vk满足 W(i,j)+W(j,k)W(i,k)试求出赋权图上的最短哈密尔顿回路。,至今未找出有效的方法,但已找到了若干近似算法,现介绍其一最邻近算法,它为巡回售货员问题得出一个近似解。(1)选任意点作为始点,找

31、出一个与始点最近的点,形成一条边的初始路径。然后用第(2)步方法逐点扩充这条路径。(2)设x表示最新加到这条路径上的点,从不在路径上的所有点中,选一个与x最邻近的点,把连接x与此点的边加到这条路径中。重复这一步,直至G中所有顶点包含在路径中。,图 8.215,(3)把始点和最后加入的顶点之间的边放入,这样就得出一个回路。例如,对于图8.215(a)所示的图,如果我们从a点开始,根据最邻近算法构造一个哈密尔顿回路,过程如图(b)到(e)所示,所得回路的总距离是44,其实图8.215(a)的最小哈密尔顿回路应如(f)所示,总距离是43。,8.二部图,从本节起将讨论一些特殊的图,首先讨论二部图。定义

32、8.41若无向图G=V,E的顶点集合V可以划分成两个子集X和Y,使G中的每一条边e的一个端点在X中,另一个端点在Y中,则称G为二部图或偶图。二部图可记为G=X,E,Y,X和Y称为互补结点子集。由定义可知,二部图不会有自回路。,定义8.42二部图G=X,E,Y中,若X的每一顶点都与Y的每一顶点邻接,则称G为完全二部图,记为Km,n,这里m=X,n=Y。图8.41给出K2,4和K3,3的图示。,图 8.41,定理8.41无向图G=V,E为二部图的充分必要条件为G中所有回路的长度均为偶数。证必要性。设G是具有互补结点子集X和Y的二部图。C是G中任一回路C:(v0,v1,v2,vk,v0)不妨设v0X

33、,则v0,v2,v4,X,v1,v3,v5,Y,k必为奇数,不然,不存在边(vk,v0)。C中共有k+1条边,故C是偶数长度的回路。,充分性。设G是连通图,否则对G的每个连通分图进行证明。设G=V,E只含有偶数长度的回路,定义互补结点子集X和Y如下:任取一个顶点v0,v0V,取 X=v从v0到v的距离是偶数 Y=V-X,定义8.43给定一个二部图G=X,E,Y,如果E的子集M中的边无公共端点,则称M为二部图G的一个匹配。含有最多边数的匹配称为G的最大匹配。例如,图8.42中,M=(x1,y5),(x3,y1),(x4,y3)是G的一个匹配。求最大匹配要应用交替链概念,其定义如下。,定义8.44

34、如果二部图G中的一条链由不属于匹配M的边和属于M的边交替组成,且链的两端点不是M中边的端点,那么称此链为G中关于匹配M的交替链。例如,图8.42中的(x2,y1,x3,y4)是交替链。最短的交替链是由一条边组成,该边的两端点不是M中边的端点。,图 8.42,交替链可用标记法找出,标记法的过程如下:首先把X中所有不是M的边的端点用()加以标记,然后交替进行以下所述的过程和。.选一个X的新标记过的结点,比如说xi,用(xi)标记不通过在M中的边与xi邻接且未标记过的Y的所有结点。对所有X的新标记过的结点重复这一过程。.选一个Y的新标记过的结点,比如说yi,用(yi)标记通过M的边与yi邻接且未标记

35、过的X的所有结点。对所有Y的新标记过结点重复这一过程。,例如,在图8.42中,可用如下标记过程:(1)把x2标记(*)。(2)从x2出发,应用过程,把y1和y3标记(x2)。(3)从y1出发,应用过程,把x3标记(y1)。从y3出发,应用过程,把x4标记(y3)。(4)从x3出发,应用过程,把y4标记(x3),因y4不是M中边的端点,说明已找到了一条交替链,即(x2,y1,x3,y4)。,在二部图G中,如果能找出一条关于匹配M的交替链,则把中属于M的边从M中删去,而把中不属于M的边添到M中,得到一新集合M,此M也是G的匹配。这是因为添入的边自身不相交,又不与M中不属于的边相交。例如在图8.42

36、中作这样变换后,所得的M(用粗黑线标出)如图8.43所示。但M比M多一条边。因此,反复进行这样的过程,直至找不出关于M的交替链为止,就可崐求出G的最大匹配,即M。,图 8.43,例1求出图8.44中的二部图的最大匹配。解步骤、操作内容及M情况(1)置M为 M=(2)找出一条边的交替链(x2,y2)M=(x2,y2)(3)找出一条边的交替链(x3,y3)M=(x2,y2),(x3,y3)(4)找出一条边的交替链(x4,y4)M=(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(5)用标记法找出交替链(x1,y3,x3,y2,x2,y1),进行变换得 M=(x1,y3),(x3,y2),(x2,y1),(x4,y4)。(6)再用标记法找交替链。但已找不到交替链。所以M=(x1,y3),(x3,y2),(x2,y1),(x4,y4)就是所求的最大匹配。,图 8.44,