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1、1.4 离散时间系统与差分方程,T,离散时间系统,x(n)y(n),一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。,y(n)=Tx(n)对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。,T.,1.线性系统（满足迭加原理的系统）若系统的输入为x1（n）和x2（n）时，输出分别为y1（n）和y2（n），即 y1（n）=Tx1（n），y2（n）=Tx2（n）如果系统输入为ax1（n）+bx2（n）时，输出为ay1（n）+by
2、2（n），其中a，b为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统的条件为 Tax1（n）+bx2（n）=aTx1（n）+bTx2（n）=ay1（n）+by2（n）线性系统对信号的处理可应用迭加定理。,例:设一系统的输入输出关系为 yn=x2n 试判断系统是否为线性？解：输入信号x n产生的输出信号Tx n为 Tx n=x2n 输入信号ax n产生的输出信号Tax n为 Tax n=a2x2n 除了a=0,1情况，Tax n aTx n。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。,2.时不变系统如果 Tx(n)=y(n)，则 Tx(n-n0)=y(n-n0)（n0为任意整数）即系统的
3、特性不随时间而变化。线性时不变系统简称为：LTI,例：若系统输入输出关系为：y(n)=nx(n)试判断系统是否为时不变系统？,3.线性时不变系统线性时不变系统既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应，h（n）=T（n）则系统对任一输入序列x（n）的响应为,由于系统是线性的，满足迭加定理,又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示,因此 该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（
4、n）来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。卷积过程：对 h（m）绕纵轴折叠，得h（-m）；对 h（-m）移位得 h（n-m）；将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。,令m=n-m，做变量代换，则卷积公式变为因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即输入为x(n)、单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统与输入为h(n)、单位脉冲响应为x(n)的线性时不变系统具有同样的输出）离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其他种类的卷积。(实验演示！),4、系统的稳定性与因果性线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示
5、的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。当且仅当(充要条件)时，该线性时不变系统是稳定的。,因果系统：系统的输出y(n)只取决于当前以及过去的输入,即x(n),x(n-1)，x(n-2)。非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统，（不可实现）因果系统的充要条件：h(n)0，n0（可从y(n)=x(n)*h(n)导出）,例：分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时不变系统的因果性和稳定性。既然，n0时，h（n）=0，系统是因果的如果|a|
6、1,则 如|a|1,则s，级数发散。故系统仅在|a|1时才是稳定的。,稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。,5 差分方程描述系统输入输出之间的运算关系 一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。其N阶线性常系数差分方程的一般形式：其中 ai、bi都是常数。离散系统差分方程表示法有两个主要用途：由差分方程得到系统结构；求解系统的瞬态响应；,例：用途一，由一阶
7、差分方程画网络结构 y(n)=ay(n-1)+x(n)由此得到它的网络结构如图,用途二在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解例，一阶差分方程系统：其输入为解：初始条件为 y（n）=0，n0 n=0以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解从n=0求起，由差分方程、初始条件和输入，得：依次递推，稳定、因果系统,输入相同，但初始条件改为 n0，y（n）=0将上述差分方程 改写成 y（n-1）=2 y（n）-1.5x（n）此时 y（0）=2 y（1）-1.5x(1)=0 依此类推，得到 非因果、不稳定系统、两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不
8、同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。,1.5 系统的频率响应与系统函数,一、定义 在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统，y（n）=x（n）*h（n）两边取z变换 Y(z)=X(z)H(z),则 定义为系统函数1）它 是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。2）单 位圆上的系统函数就是系统的频率响应 可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的DTFT。,因果系统：单位脉冲响应 h（n）是因果序列的系统，其系统函数H(z)的收敛域包括点，即 Rx-|Z|,稳定系统：单位
9、脉冲响应h（n）满足绝对可和的系统即,稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛，即 存在。,二、几种常用系统,因果稳定系统：,最普遍最重要的一种系统，其系统函数 H（z）在从单位圆到的整个区域收敛。即 1Z|H（z）的全部极点必在单位圆以内。,三、差分方程与系统函数 线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程 两两边取z变换：,于是 上式也可用因子的形式来表示 式中ci、di是H（z）在z平面上的零点和极点，A为比例常数。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。,用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为
10、,系统的频响为:,在z平面上,ej-ci可用一根由零点ci指向单位圆上ej点的向量 来表示，而ej-di可用极点di指向ej的向量 表示于是 令分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ej点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率由02时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。,其基本原理是，当单位圆上的 ej 点在极点 d i附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 di 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当 di 处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗（Q
11、=）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。对于零点位置，频响将正好相反，ej点越接近某零点 ci，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。,例4：,Imz,0,零点在单位圆上0,处；极点在,处。,。,。,例 有限长单位脉冲响应 0a1 求其频率响应特性。解：如果a为正实数，H（z）的零点为 这些零点分布在|z|=a的圆
12、周上，对圆周进行M等分，它的第一个零点k=0，恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H（z）共有下 图给出M=8，0a1时的系统特性，幅频的峰值出现在=0，因为该处无零点（被极点对消），每一零点附近的频率响应均有陷落，呈现出M次起伏，当M无限增大时，波纹趋于平滑，系统函数趋于书上一阶系统的结果。,上例中的单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为“有限长单位脉冲响应系统”，简写为FIR系统。相应地，当单位脉冲响应长度无限时，则称为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。系统函数的一般成可改写为（b0=1）我们知道有限度序列的z变换在整个有限z平面（|z|0）上收敛，因此对于FI
13、R系统，H（z）在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H（z）分母中全部系数bi（i=1，2，N）必须为零，故 只要bi中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。bi不为零就说明需要将延时的输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路的结构称为“递归型”结构，IIR系统只能采用“递归型”结构，而FIR系统一般采用非“递归型”结构。但是，采用极、零点抵消的方法，FIR系统也可采用“递归型”结构。IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。,小 结：,理想采样信号及其频谱特点、采样定理Z变换定义、Z变换收敛域、Z变换性质逆Z变换、常用序列Z变换因果稳定系统线性时不变系统输入、输出的关系系统函数、系统频响及其几何确定方法,
