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1、第4章 积分及其应用,4.1 定积分,4.1.1 微积分的典型问题之二,把它们的面积加起来,得,曲边梯形的面积,4.1.2 定积分概念,积分号,定积分的几何意义,与 x 轴所围成的各个曲边梯形面积的代数和.,且合理规定,定积分的几何意义的应用,4.1.3 可积的充分条件 若 f(x)在区间a,b上连续或分段连续,则 f(x)在a,b上可积.,用定积分表示和式极限,可以证明,若函数 f(x)在0,1上可积,则,例 用定积分表示和式极限,4.2 定积分与原函数的关系,4.2.1 直观背景,4.2.2 原函数与不定积分,积分号,被积函数,积分变量,积分常数,f(x)dx称为被积表达式,不定积分的基本
2、性质,常用积分表,4.2.3 微积分基本定理,练习 计算下列定积分,变上限积分函数的微商,4.3 定积分的性质,区间可加性的应用,估值定理的应用,定积分为常数,f(x)=x 2,4.4 积分法,4.4.1 直接积分法,直接积分法举例,4.4.2 换元积分法,换元积分法与复合函数的微分法相对应.,第一类换元积分法(凑微分法),特别地有,线性凑微分法举例,明显凑微分法举例,=ln|f(x)|+C,三角函数的积分举例,=ln|cosx|+ln|sinx|+C=ln|tanx|+C,练习 计算 sin3xcos2xdx sin2xcos3xdx,有理函数的积分,两个多项式的商所表示的函数称为有理函数.
3、有理函数的积分法总原则是先化为真分式,然后尽量化为部分分式.此处只讨论下列两种类型.,用待定系数法化为部分分式,消除a,有理函数的积分举例,八仙过海,例,=ln|secx+tanx|+C,第二类换元积分法,三角换元法举例,三角换元法举例,=ln|sect+tant|+C,三角换元法举例,=ln|sect+tant|+C,第二类其它换元法举例,第二类其它换元法举例,万能公式,=ln(1+t2)+C=ln1+tan2(x/2)+C,定积分的换元积分法,第一类换元积分法(凑微分法),第二类换元积分法,定积分的换元法举例,例 计算,解 令x=t2,则 dx=2tdt,=2arctan3 2arctan
4、2,=2arctan3 2arctan2,常量与变量问题,于是,两边对 x 求微商,得,令 x=1,得,对称区间a,a上的定积分,对称区间上的定积分举例,其他针对积分区间的换元法,4.4.3 分部积分法,“反对幂指三”法：,“幂指三”分部积分法,=x2sinx+2xcosx 2sinx+C,练习 计算,“反对幂”分部积分法,=(x+1)ln(x+1)x+C,=(x+1)ln(x+1)x+C,循环法,=secxtanx tanxdsecx,=secxtanx tan2xsecxdx,=secxtanx(sec2x 1)secxdx,=secxtanx sec3xdx+secxdx,=secxta
5、nx sec3xdx+ln|secx+tanx|+C,递推公式法,=(n 1)In 2(n 1)In,4.5 定积分的应用,4.5.1 反常积分,这就是所求“无穷曲边梯形”的面积.,把这极限理,反常积分,一般通过直接计算,判定反常积分的敛散性.,反常积分的计算方法,伽玛函数,概率密度函数,4.5.2 面积、体积、弧长的计算,定积分的微元法,则,从而,平面图形的面积,平面图形区域的分类,直角坐标下的面积公式,微元法,微元法,x 型区域举例,y 型区域举例,S=(y+4 y2/2)dy=18,极坐标下的面积公式,微元法,双纽线,在1周内取 k=0,1 得,旋转体的体积,微元法,圆锥体的体积,例 求
6、高为h,底半径为 r 的正圆锥体的体积.,所求体积可看成直线OP与 x=h,y=0所围图形绕 x 轴旋转而成.,平面曲线的弧长,直角坐标下的弧长公式,参数方程下的弧长公式,极坐标下的弧长公式,4.5.3 定积分在经济管理与社会科学中的应用,需求曲线,供给曲线,均衡点,均衡数量,均衡价格,最低限价,最高限价,第4章 重要概念与公式,和式极限:若 f(x)在0,1上可积,则,变上限的积分函数的微商,微积分基本定理,常用积分表换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 分部积分法“幂指三”“反对幂”微元法 平面图形的面积 旋转体的体积,积分与极限的混合运算,和式极限,应用洛必达法则,二次积分,中值定理的运用,综合应用题,
