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1、,空间解析几何,一、向量代数,二、空间解析几何,1、向量的概念,定义:既有大小又有方向的量称为向量.,相等向量:大小相等,方向相同,负向量:大小相同,方向相反,向径:起点为原点,零向量:模为0的向量,方向不固定,向量的模:向量的长度(大小),单位向量:模为1的向量,一、向量代数,（2）向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,（3）向量的坐标表示式：,向量的坐标：,2、向量的表示法,（1）有向线段(模和方向余弦）,(1)加法：,3、向量的线性运算,(2)减法：,(3)向量与数的乘法：,线性运算的坐标表达式,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,4、数量积,数量积的坐标表达式,两向量夹
2、角余弦的坐标表示式,运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,5、向量积,定义：,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,几何意义：右图三角形面积,S,性质,为非零向量,则,运算律,(2)分配律,(3)结合律,向量积的坐标表达式,解,解,例3.已知向量,的夹角,且,解：,例4.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,横轴,纵轴,竖轴,定点,1、空间直角坐标系,空间的点,有序数组,二、空间解析几何,它们距离为,两点间距离公式:,点到平面的距离公式：,（1）旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴.,2
3、、曲面,方程特点:,（2）柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程看柱面的特征：,椭球面,(3)二次曲面,抛物面,椭圆抛物面,(p,q 同号),双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,(p,q 同号),双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,3、空间曲线,（1）空间曲线的一般方程,（2）空间曲线的参数方程,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,4.空间直线与平面的方程,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0
4、的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例5.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,例6.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,例7.求直线,与平面,的交点.,提示:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,5.线面之间的相互关系,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,
