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1、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数与极限,第一讲,一、历年试题分类统计及考点分布,二、考点综述及主要解题方法与技巧,三、真题解析,一、历年试题分类统计及考点分布,1.极限定义与性质与结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.极限的计算,二、考点综述与主要解题方法与技巧,3.连续性与间断点,夹逼准则,与单调有界准则,两个重要极限,无穷小代换,泰勒公式（拉格朗日中值定理）,导数定义及定积分定义,罗必达法则,1.极限定义,性质,与结论,定义,当,时,有,(1)充要条件,性质,(2)局部有界性,(3)局部保号性,若,且 A 0,则存在,(A 0),则存在正常数,若,结论,例1.设,存在，求
2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为常数，且,的值，并计算极限.,注.：（）左右极限与极限的关系,（）结论,练习:.求,解:,原式=1,(2000考研真题),机动 目录 上页 下页 返回 结束,使得（）,设函数,连续，且,则存在,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：保号性的应用与极限与单调性极值的关系,设函数,例.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：极限与有界性的关系，以及闭区间上连续函数的性质,则在定义域上（）,2 极限的计算,(a)七种未定式的极限计算,计算步骤：化简,判定类型,选择方法,方法与技巧：无穷小代换，洛必达法则，泰勒公式，,根号有理化，极限存在准则，导数与
3、积分定义等,主要结论（1）：,主要推论（1）：,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：重要极限，洛比达法则，,（）利用结论：,(例1.2003年真题4分).,(),求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：幂指函数,（）选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限,（）主要结论：,(例2.201年真题分).,（）,主要结论（2）：,主要推论（2）：,例3.(2004年真题)求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（）利用结论：,例.求极限,机动 目录 上页 下页 返回
4、 结束,析.（）判定类型：幂指函数,（）选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限,（）主要结论：,则有,(a)和差取大规则:,若=o(),(b)和差代换:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,主要结论（）：,且,存在,则,例1.求,解:,原式,(c)乘积代换:,界,则,例如,(d)幂指型代换:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（）利用结论：,例5(2006年真题3分).,(),例6.求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型,（）选择方法：无穷小代换,（）注意细节：,推广,机动 目录 上
5、页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：无穷小代换,（）利用结论：,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：无穷小代换，拉格朗日中值定理,（）利用结论：,例8,.设,求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要结论（4）：,设,若,则,若,则,设,若,则,若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：重要极限，根值法,（）利用结论：,例10,设,若,则,若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用结论：,例10,设,若,则,若,则,(b)综合计算题,已知极限反求参数,无穷小比阶的问题,利用收敛准则求极限
6、,与其他知识结合的综合题,利用中值定理求极限,例1.求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型,（）选择方法：根号有理化，无穷小代换,例.求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型,（）选择方法：根号有理化,（）注意细节：,例3.求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则,（）技巧：变量倒代换，将,例4.当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（）利用结论：,与,是等价无穷小，求a,b,例5.若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类
7、型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（）利用结论：,求a,b,例6.确定常数a,b,c的值，使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（）注意细节：保号性与变上限积分的求导,例7.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：拉格朗日中值定理，洛比达法则,（）注意细节：无穷小代换的灵活运用,求极限,例6.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：拉格朗日中值定理，乘积无穷小代换,（）注意细节：无穷小代换的灵活运用,求极限,例9.设,机动 目录 上页 下
8、页 返回 结束,析.（）判定类型：数列极限,（）选择方法：单调有界数列收敛准则,（）相关结论：,证明数列,的极限存在，并求此极限,例10.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：数列极限,（）选择方法：单调有界数列收敛准则,（）相关结论：,证明数列,的极限存在，并求此极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(例11 年真题分).,析.（）判定类型：？,（）利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小的等价无穷小,（）选择方法：？,则必有（）,.历年真题解析,(2011年真题分).求极限,析.（）判定类型：,（）选择方法：重要极限，洛比达法则，无穷小代换,（）相关结论：,当,机动 目
9、录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（）利用结论：,与,是等价无穷小，求a,b,(2009年真题分).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：讨论左右极限,（）选择方法：重要极限，代入法,（）利用结论：,(200年真题分).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（）选择方法：洛比达法则，无穷小代换，重要极限,（）利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小的等价无穷小,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：数列极限,（）选择方法：单调有界数列收敛准则,（）相关结论：,的极
10、限存在，并求此极限,(年真题分).,试证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（）利用结论：,（）选择方法：洛比达法则，重要极限,求a值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（）利用结论：,（）选择方法：洛比达法则，重要极限,（）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（）利用结论：,（）选择方法：洛比达法则，重要极限,（）,三、连续与间断,1.函数连续的等价形式,2.函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结
11、束,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3.闭区间上连续函数的性质,例1.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,的间断点,并判别其类型.,解:,x=1 为第一类可去间断点,x=1 为第二类无穷间断点,x=0 为第一类跳跃间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,例3.设函数,试确定常数 a 及 b.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设 f(x)定义在区间,上,若 f(x)在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f(x)对一切
12、 x 都连续.,P64 题2(2),4;P73 题5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,例5.证明:若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设函数在闭区间a,b上连续，对于,以及,证明：存在,使得,例7.有一张形状怪异的饼放在方形的餐桌上，能否一刀将这张饼切成面积相等的两半，而刀口平行于餐桌的某条指定的边？如果可以做到，问这种切法是否唯一？,综合练习.求下列极限：,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,复习:若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.确定常数 a,b,使,解:,原式,故,于是,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.当,时,是,的几阶无穷小?,解:设其为,的,阶无穷小,则,因,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.求,解:令,则,利用夹逼准则可知,
