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1、第三章 线性网络的一般分析方法,3.1 支路电流法,3.2 回路分析法,3.3 节点分析法,目的：找出一般(对任何线性电路均适用)的求解线性网络的 系统方法。,对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。,应用：主要用于复杂的线性电路的求解。,基础：,线性网络：由线性元件或独立源（属非线性）构成的电路。,3.1 支路电流法(branch current method),n个节点、b条支路的电路：支路电流：b个 支路电压：b个 需2b个独立的电路方程,例：,b=6,n=4,独立方程数应为2b=12个。,支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,标定各支路电流、电压的参考方向
2、并列写各支路特性方程,u1=R1i1，u2=R2i2，u3=R3i3，u4=R4i4，u5=R5i5，u6=uS+R6i6,(b=6，6个方程，关联参考方向),(2)对节点，根据KCL列方程,节点 1：i1+i2 i6=0节点 2：i2+i3+i4=0节点 3：i4 i5+i6=0节点 4：i1 i3+i5=0,独立KCL方程数为n1=41=3个,(设流出节点为正，流入节点为负),对有n个节点的电路，就有n个KCL方程，但独立KCL方程数最多为(n1)个。,一般情况：,独立节点：与独立KCL方程对应的节点。任选(n1)个节点即为独立节点。,对上例，尚缺2b-b-(n-1)=b-(n-1)=6-
3、(4-1)=3个独立方程。可由KVL，对回路列支路电压方程得到。,(3)选定图示的3个回路，由KVL，列写关于支路电压的方程。,回路1：u1+u2+u3=0回路2：u3+u4 u5=0回路3：u1+u5+u6=0,(3),可以检验，式(3)的3个方程是独立的，即所选的回路是独立的。,独立回路：独立KVL方程所对应的回路。,i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0,R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0,综合式(1)、(2)和(3)，便得到所需的6+3+3=12=2b个独立方程。将式(1)
4、的6个支路VAR代入三个KVL方程，消去6个支路电压，保留支路电流，便得到关于支路电流的方程如下：,独立回路的选取：,每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。因这样所建立的方程不可能由原来方程导出，所以，肯定是独立的(充分条件)。可以证明:用KVL只能列出b(n1)个独立回路电压方程。对平面电路，b(n1)个网孔即是一组独立回路。,平面电路。,支路数b=12,节点数n=8,独立KCL数：n-1=7,独立KVL数：b-(n-1)=5,平面电路：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。,非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。,是平面电路,总有支路相互交叉是非平面电路,支路法的一
5、般步骤：,(1)标定各支路电流、电压的参考方向；,(2)选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3)选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(元件 特性代入，将KVL方程中支路电压用支路电流表示),(4)求解上述方程，得到b个支路电流；,(5)其它分析。,注：在步骤（3）中若消去支路电流，保留支路电压，得到关于支路电压的方程，就是支路电压法。,例1.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个独立KCL方程：,US1=130V,US2=117V,R1=1,R2=0.6,R3=24.,求各支路电流。,解,(2)b(n1)=2个独立KVL方程：,R2I2+R3I3=US2,UR降=US升,
6、R1I1R2I2=US1US2,0.6I2+24I3=117,I10.6I2=130117=13,(3)联立求解得,例2.,列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。,b=5,n=3,KCL方程：,-i1-i2+i3=0(1)-i3+i4-i5=0(2),R1 i1-R2i2=uS(3)R2 i2+R3i3+R4 i4=0(4)-R4 i4+u=0(5)i5=iS(6),KVL方程：,*理想电流源的处理：由于i5=iS，所以在选择独立回路时，可不选含此支路的回路。对此例，可不选回路3，即去掉方程(5)，而只列(1)(4)及(6)。,解,解,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,方程列
7、写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,KCL方程：,-i1-i2+i3+i4=0(1)-i3-i4+i5 i6=0(2),例3.,KVL方程：,R1i1-R2i2=uS(3)R2i2+R3i3+R5i5=0(4)R3i3-R4i4=u2(5)R5i5=u(6),补充控制量方程：,i6=i1(7)u2=-R2i2(8),注：可去掉方程(6)。,支路法的特点及不足：,优点：直接。直接针对各支路电压或电流列写方程,能否找到一种方法，使方程数最少，且规律性较强？,答案是肯定的。回路（网孔）分析法、节点分析法以及割集分析法就具
8、有这样的特点。它们选择一组最少的独立完备的基本变量作为待求变量，使得方程数目最少。,缺点：需要同时列写 KCL和KVL方程，方程数较多（等于支路数b），且规律性不强(相对于后面的方法)。各支路电流（或电压）并不独立，彼此线性相关。,独立：每个基本变量不能由其他基本变量表示出来。完备：所选的基本变量数目足够多，足以将其它变量表示出来。,3.2 回路电流法(loop current method),基本思想：,假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流线性组合表示。,回路电流对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。回路电流法只需对独立回路列写KVL方程。,b=3，n=2。
9、独立回路为l=b-(n-1)=2。选图示的两个独立回路，回路电流分别为il1、il2。支路电流i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。,即：一组独立回路的回路电流具有独立性和完备性,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,回路电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流法相比，方程数可减少n-1个。,回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得，,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则
10、取“-”。,R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,令,R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12=R21=R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,us11=uS1-uS2 回路1中所有电压源电位升的代数和。,us22=uS2 回路2中所有电压源电位升的代数和。,当电压源电位升方向与该回路方向一致时，取正号；反之取负号。,标准形式的方程：,一般情况下，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有,其中,Rkk:自电阻(为正)，k=1,2,l(绕行方向取参考方向)。,
11、Rjk:互电阻,+:流过互阻两个回路电流方向相同,-:流过互阻两个回路电流方向相反,0:无关,特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。,(实质：UR 降=Us升),回路法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2)对l个独立回路，以回路电流为未知量，由自、互电阻列标准回路方程；,(3)求解上述方程，得到l个回路电流；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,例1.,用回路法求各支路电流。,解：,(1)设独立回路电流(
12、顺时针),(2)列 KVL 方程,对称阵，且互电阻为负,(3)求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic,(4)求各支路电流：I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic,将VCVS看作独立源建立方程；,找出控制量和回路电流关系。,校核:,1I1+2I3+2I5=2.01,(UR 降=E升),例2.,用回路电流法求含有受控电压源电路的各支路电流。,解：,将代入，得,各支路电流为：,I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.,*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,补充方程,例3.,列写下列
13、含有理想电流源电路支路的回路电流方程。,方法1：引入电流源电压为变量，补充回路电流和 电流源电流的约束方程。,(补充方程）,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路,该回路电流即 IS。,(1)对含有并联电阻的电流源，可先做电源等效变换再列 回路方程：,(2)对含有受控电流源支路的电路，可先按理想电流源处理，再将控制量用回路电流表示。,说明：,练习:合理选择回路电流，使得回路方程最简.,I1=3AI2=1A(3+2+1+2)I3+(2+1)I2-(2+1)I1=0,3.3 节点电压法(node voltage method),是否有一种方法使KVL自动满足，从而就不必列写KV
14、L方程，减少联立方程的个数？,基本思想：,KVL恰说明了电位的单值性。如果选节点电压为未知量，则KVL自动满足，可只列写KCL方程。,任意选择参考点：其它节点与参考点的电压即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-(n-1)个。,例：,(2)列KCL方程：,iR出=iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节
15、点的电压,代入支路特性：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为,G11un1+G12un2=iS11,G21un1+G22un2=iS22,其中,G11=G1+G2+G3+G4节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12=G21=-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iS11=iS1-iS2+iS3 流入节点1的电流源电流的代数和。,iS22=-iS3 节点2。,*自电导总为正，互电导总为负。*电流源支路
16、电导为零。,*流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各节点电压后，各支路电流可用节点电压表示：,一般情况：,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和，总为正。,*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。,iSii 流入节点i的所有电流源电流的代数和。,Gij=Gji互电导，等于接在节点i与节点j之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,实质:iR出=iS入,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,变换,记Gk=1/Rk，得：,等效电流源,节点法的一般步骤：,(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点；,(2)对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，由自、互电导列写标准节点
17、方程；,(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用节点电压表示)；,练习:写出如图电路中a、b、c三点的节点电位方程。,视为不存在,解：,（2+3+5+2)ua-5ub-2uc=42-5ua+(5+3+2)ub-2uc=0-2ua-2ub+(2+4+2)uc=6,用节点法求各支路电流。,*可先进行电源变换。,例1.,(1)列节点电压方程：,UA=21.8V，UB=-21.82V,I1=(120-UA)/20k=4.91mA,I2=(UA-UB)/10k=4.36mA,I3=(UB+240)/40k=5.45mA,I4=UB/40=0.546mA,I5=
18、UB/20=-1.09mA,(2)解方程，得：,(3)各支路电流：,解：,(1)先把受控源当作独立源看列方程；,(2)将控制量用节点电压表示出来。,例2.列写下图含受控源电路的节点电压方程。,uR2=un1(补充控制量方程),解：,Ix,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系,方法2：选择合适的参考点,使参考点在理想电压源的一端,(G1+G2)U1-G1U2=-Ix,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3=Ix,U1-U3=US(补充方程),U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,例3.,思考：,电路中含受控电压源时，节点方程如何处理？,(1),（2）,先当理想电压源处理 即：引入该支路电流Ix，或选择参考节点在受控电压源的一端,补充控制量方程,支路法、回路法和节点法的比较：,(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。,(3)回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。,(1)方程数的比较,标准元件图,1,1A,1V,
