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1、,一、定积分的元素法,二、平面图形的面积,第七节 定积分的几何应用,三、旋转体的体积,四、平行截面面积已知的 立体的体积,五、小结,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的元素法,面积元素,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,，,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积表达式。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面曲线的函数表达式：,(1)曲线可表示为函数：y=f(x),设曲线上任意一点为(x,y).则曲线的函数表达式分为,x,y,x,y,(2)
2、曲线可表示为函数：x=f(y),x,y,y,x,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,则椭圆的面积为,解：设椭圆在第一象限的面积为S1。,例,平面图形的面积,2,平面图形的面积,2,平面图形的面积,2,c,平面图形的面积,2,c,解：由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。,S=2,例,下页,解：由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。,S=2,=2,例,下页,平面图形的面积,3,平面图形的面积,3,平面图形的面积,平面图形的面积,二、立体的体积,设一立体在x轴上的投影区间为a,b，过x点垂直于x轴的
3、截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。,立体的体积元素为：,所求立体的体积为：,dV=S(x)dx。,下页,1.已知平行截面面积求立体的体积,1.已知平行截面面积求立体的体积,二、立体的体积,设立体在y轴上的投影区间为c,d，过y点垂直于y轴的截面面积S1(y)是y的连续函数，求此立体的体积。,立体的体积为：,下页,设一立体在x轴上的投影区间为a,b，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。,讨论:旋转体的体积怎样求？,答案：,下页,2.旋转体的体积,x,区间a,b上截面积为S(x)的立体体积：,(1)由连续曲线 yf(x)、直线 xa、xb 及 x 轴所围
4、成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。,讨论:旋转体的体积怎样求？,答案：,下页,2.旋转体的体积,y,区间c,d上截面积为S1(y)的立体体积：,(2)由连续曲线 xj(y)、直线 yc、yd 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体。,xj(y),曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：,解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积：,下页,曲线x=j(y)绕 y轴旋转而成的立体体积：,解：椭圆绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积：,下页,曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：,曲线x=j(y)绕 y轴旋转而成的立体体积：,例2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、
5、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。,所求圆锥体的体积为,解：,首页,曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：,曲线x=j(y)绕 y轴旋转而成的立体体积：,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：,考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？,观察下列图形，选择合适的积分变量：,考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,
6、椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,三、旋转体的体积(volume of body),（1）,圆锥,圆台,三、旋转体的体积(volume of body),（3）,（2）,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,0,1,x,y,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,四、平行截面面积已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系
7、如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,五、小结,定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积,思考题1,思考题1解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,曲线 y=f(x)及直线 y=kx+b,所围成的曲边梯形,求D绕直,线y=kx+b旋转所成立体的体积.,上有连续导数,D为,思考题2,如右图示,曲线在M点处的切线MT为：,思考题2解答,应用定积分的元素法，考虑子区间x,x+dx.设相,应于x,x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时,取切线MT上对应于右,端点x+dx的点 到垂线,的距离为dl,则,而M点到直线L的距离为,从而得,所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为,思考题3,思考题3解答,交点,立体体积,练 习 题,！,练习题答案,
