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1、2.2 一元线性回归模型的参数估计,一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（OLS）三、参数估计的最大或然法(ML)*四、最小二乘估计量的性质 五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,1,10/17/2023,单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型,线性模型中，变量之间的关系呈线性关系非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系,一元线性回归模型：只有一个解释变量,i=1,2,n,Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数，为随机干扰项,2,10/17/2023,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）P
2、RF。（参见图）,估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares,OLS）。,为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。,注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。,3,10/17/2023,回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。,注意：这里PRF可能永远无法知道。,即，根据,估计,4,10/17/2023,最小二乘估计,5,10/17/2023,一、线性回归模型的基本假设,假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：E(i)=0 i=1,2,
3、n Var(i)=2 i=1,2,n Cov(i,j)=0 ij i,j=1,2,n 假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,i)=0 i=1,2,n 假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0,2)i=1,2,n,6,10/17/2023,1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;2、如果假设4满足，则假设2也满足。,注意：,以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。,7,10/17/2023,另外，在进行模型回归时
4、，还有两个暗含的假设：,假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即,假设6：回归模型是正确设定的,假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题（spurious regression problem）。假设6也被称为模型没有设定偏误（specification error）,8,10/17/2023,二、参数的普通最小二乘估计（OLS）,给定一组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinary least squa
5、res,OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和,最小。,9,10/17/2023,方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。,10,10/17/2023,记,上述参数估计量可以写成：,称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。,11,10/17/2023,顺便指出，记,则有,可得,（*）式也称为样本回归函数的离差形式。,（*）,注意：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。,12,10/17/2023,三、
6、参数估计的最大或然法(ML),最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。,13,10/17/2023,在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：,随机抽取n组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,n）。,那么Yi服从如下的正态分布：,于是，Y的概率函数为,（i=1,2,n）,假如模型的参数估计量已经求得，为,14,10/17/2023,因为Y
7、i是相互独立的，所以的所有样本观测值的联合概率，也即或然函数(likelihood function)为：,将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。,15,10/17/2023,由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：,16,10/17/2023,解得模型的参数估计量为：,可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。,17,10/17/2023,例：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。,18,10/17/2023,因此，由该样本估计
8、的回归方程为：,19,10/17/2023,四、最小二乘估计量的性质,当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。,一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。,20,10/17/2023,（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷
9、大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。,这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator,BLUE）。,当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：,21,10/17/2023,高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。,22,10/17/2023,证：,易知,故,同样地，容易得出,23,10/17/2023,24,10/17/2023,（2）证明最小方差性,其中，ci=ki+di，d
10、i为不全为零的常数则容易证明,普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator,BLUE）,25,10/17/2023,由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。,26,10/17/2023,五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,27,10/17/2023,28,10/17/2023,2、随机误差项的方差2的估计,由于随机项i不可观测，只能从i的估计残差ei出发，对总体方差进行估计。,2又称为总体方差。,可以证明，2的最小二乘估计量为,它是关于2的无偏估计量。,29,10/17/2023,在最大或然估计法中，,因此，2的最大或然估计量不具无偏性，但却具有一致性。,30,10/17/2023,31,10/17/2023,
