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1、,概率论与数理统计第八讲,主讲教师：张冬梅副教授,浙江工业大学理学院,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3.导弹在空中位置坐标(X,Y,Z)。,1.某人体检数据血压X和心律Y；,例如：,2.钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z；,一般地,将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1,X2,Xn 放在一起，记成(X1,X2,Xn)，称为 n 维随机向量(或变量)。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,必须把(X,Y)作为一个整体来看待，加以研究。,定义:二维随机向量(X,Y)的联合分
2、布函数为,取定x0,y0R=(-,),F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将(X,Y)看成平面上随机点的坐标。,3.1 二维随机向量及其分布函数,易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1xx2,y1yy2 内的概率为,Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1).,说明,二维分布函数 F(x,y)的三条基本性质(1).F(x,y)是变量 x,y 的非减函数；即 yR 给定，当 x1 x2 时，F(x1,y)F(x2,y).同样,xR 给定，当y1y2时,F(x,y1)
3、F(x,y2).,(2).x,yR,有 0F(x,y)1；,(3).yR,F(-,y)=0，xR,F(x,-)=0，F(-,-)=0，F(,)=1.,其中,3.2 二维离散型随机向量,如果随机向量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量，则称(X,Y)是二维离散型随机向量。二维离散型随机向量(X,Y)所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,离散型随机变量 X 的概率分布:,离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布:,联合概率分布也可以用表格表示。表 3.1,二维离散型随机向量的联合概率表达式与联合分布函数,设二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 pij，i=1,2,j=1,2,.于是,(
4、X,Y)的联合分布函数为,I 概率密度,设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y,有,则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数,简称概率密度。.,3.3 二维连续型随机向量,连续型随机变量 X 的概率密度:,连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度:,对连续型随机向量(X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：,在 f(x,y)的连续点；,解:(1).由,例 2：设(X,Y)的联合概率密度为,其中A是常数。(1).求常数A；(2).求(X,Y)的分布函数；(3).计算 P0X4,0Y5。,(3).
5、P0X4,0Y5,解:,例3：设(X,Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布，计算P(X,Y)A，这里A是阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A面积=0.5。故，P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度,III 二维正态分布,FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)，FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y).,X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数是相对于(X,Y)的联合分布而言的。,注意:,求法:,则 X 的边缘概率分布为,Y 的边缘概率分布为,设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概率分布为,
6、3.4.2 二维离散型随机向量的边缘分布,解：,例1：求(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。,把这些数据补充到前面表上，,3.4.3 连续型随机向量的边缘概率密度,若(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)，则,X的边缘概率密度为,Y 的边缘概率密度为,例2：若(X,Y)服从矩形区域 axb，cyd上均匀分布，则边缘概率密度分别为,注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。,例3：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y21上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。,解:,当|x|1时,当-1x1时,(注意积分限的确定方法),由X 和Y 在问题中地位的对称
7、性,将上式中的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度,熟练时，被积函数为零的部分可以不写。,例4：设(X,Y)的概率密度为,求(1).c的值;(2).边缘密度。,=5c/24=1,c=24/5;,解:(1).,解:(2),注意积分限,注意取值范围,注意积分限,注意取值范围,即,例5：设(X,Y)求X和Y 的边缘概率密度。,解：由,说明,对于确定的 1,2,1,2,当 不同时,对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的.,联合分布 边缘分布联合分布 边缘分布,小结,二维离散型随机变量的联合概率分布及其性质；二维连续型随机变量的概率密度及其性质；二维均匀分布和二维正态分布等;二维离散型随机变量边缘分布计算；二维连续型随机变量边缘概率密度的计算;联合分布函数,边缘分布函数关系.,
