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1、4.8 能控标准形和能观标准形,系统的能控标准形,式(4.8.2)中,系统矩阵和输入矩阵对(A,B)具有标准结构(列向量B中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵。),易证与其对应的能控性判别矩阵Uc是一个主对角元素均为1的右下三角阵,故det(Uc)0,rank(Uc)=n,即系统一定能控。因此,若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A,B)具有形如式(4.8.2)中的标准形式,则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。,一个能控系统,当其系统矩阵和输入矩阵对(A,B)不具有能控标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。,定理4.8.1 如果系统
2、是能控的，那么必存在一非奇异变换 使其变换成能控标准形,线性变换矩阵,例 线性定常系统,能控性矩阵,逆矩阵,推论1：设单输入线性定常系统,（）,能控,式中A,b分别为 矩阵,且系统的特征多项式为,则可通过非奇异线性变换,将式（）变换为能控标准型,式中,实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。可以证明,引入非奇异变换,将状态完全能控的单输入系统式(4.8.1)变换为能控标准型式(4.8.2)的变换矩阵 的逆矩阵可表达为,【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数,解：变换前系统能控判别矩阵,因为,故系统是能控的，可化为能控标准型。,又因为系统的特征多项式为,故,，,引
3、入,其中非奇异变换阵 由推论中得,也可根据定理8.1先求变换阵 的逆矩阵,则,变换后所得能控标准型为,其中,4.8.2 系统的能观标准形,，,式(4.8.19)中,系统矩阵和输出矩阵对(A,C)具有标准结构(行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵的转置),易证与其对应的能观测性判别矩阵UO的行列式,故,即系统一定能观测。若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对(A,C)具有形如式(4.8.19)中的标准形式,则称其为能观测标准型,且该系统一定是状态完全能观测的。,一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对(A,C)不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的非奇异变换化为能
4、观测标准型。,定理 4.8.2 如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形,例,能观性矩阵,推论2：设单输出线性定常系统,（）,能观测,式中A,C分别为 矩阵,且系统的特征多项式为,则存在线性非奇异变换,变换矩阵 的逆矩阵,将式（）变换为能观测标准型（）。,其中,与能控的单输入系统能控标准型变换对应,可以证明，引入非奇异变换,将状态完全能观测的单输出系统(4.8.15)变换为能观测标准型式(4.8.193)的变换矩阵，由定理8.2中的构造方法与推论2中的构造方法是等效的。即,【例】试将状态空间表达式变换为能观测标准型,解,因为,故系统是能观测的，可化为能观测标准型。,则,也可根据定理8.2先确定变换阵,再由矩阵求逆得。,引入,其中非奇异变换阵 的逆矩阵,变换后所得能观测标准型为,其中,
