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1、3.4 解析函数的高阶导数,一、高阶导数定理,分析,则由柯西积分公式有,又,一、高阶导数定理,则 的各阶导数均在 D 上解析，,应用,推出一些理论结果。,反过来计算积分,且,解,解,如图，作 C1,C2两个小圆，,解,例,计算,同样可求得,(3),二、柯西不等式,则,(柯西不等式),证明,函数 在 上解析，,令 即得,三、刘维尔定理,函数 在 上解析，且,根据柯西不等式有,令 即得,由 的任意性，知在全平面上有,则 为一常数。,则函数 在 内解析，,由高阶导数公式有,(注意 在 上的性态不知道),证,(1),证,(2),(1),(3)令 得,在 内，也解析；,(2)由 可得,在 内，,在 内解
2、析；,(3)根据柯西积分公式有,证,(4)由,即得,则函数 在全平面上解析，,假设 在全平面上无根，即,又,故 在全平面上有界，,根据刘维尔定理有,(常数)，,(常数)，,与题设矛盾。,设边界 C 的长度为 L。,(1)先证 的情形，即证,附：,高阶导数定理的证明,证明,(1)先证 的情形，即证,根据柯西积分公式有,附：,高阶导数定理的证明,证明,(1)先证 的情形，即证,附：,高阶导数定理的证明,证明,(1)先证 的情形，即证,如图，设 d 为 z0 到 C 的最短距离，,取 适当小，使其满足,则,即得,即,由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，,附：,高阶导数定理的证明,证明,(2)对于 的情形,因此将 作为新的函数，用同样的方法求极限：,即可得,(3)依此类推，则可以证明,
