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1、一、计数过程与泊松过程,在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如：,盖格记数器上的粒子流；,电话交换机上的呼唤流；,计算机网络上的（图象，声音）流；,编码（密码）中的误码流；,泊 松 过 程,交通中事故流；,细胞中染色体的交换次数，,均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,定义1：随机过程N(t),t0称为计数过程(Counting process),如果N(t)表示在0,t内事件A 出现的总次数.,计数过程应满足：,(1)N(t)0;,(2)N(t)取非负整数值；,(3)如果s t，则N(s)N(t)；,(4)对于s t,N(t)N
2、(s)表示时间间隔(s,t内事件出现的次数.,)s,)t,一类很重要的计数过程是Poisson过程.,Poisson过程数学模型：,电话呼叫过程 设N(t)为0,t)时间内到达的呼叫次数,其状态空间为,E=0，1，2，,此过程有如下特点：,1)零初值性：N(t)=0;,2)独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔内到达的呼叫次数相互独立;,3)齐次性：在(s,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔长度ts 有关，而与起始时间 s 无关;,4）普通性：在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多仅有一次，即对充分小的t,有,其中0.,定义2.设计数过程N(t),t0 满足：,(1)N(0)=0;,(2)是
3、平稳独立增量过程；,(3)PN(h)=1=h+o(h),0；,(4)PN(h)2=o(h).,称N(t),t0)是参数(或速率,强度)为的齐次 泊松过程.,定理：齐次泊松过程N(t),t0在时间间隔(t0,t0+t内事件出现n 次的概率为:,1o 由条件(2)(4)，得：,Po(t+h)=PN(t+h)=0=PN(t)=0,N(t+h)N(t)=0,=PN(t)=0 P N(t+h)N(t)=0,=Po(t)1h+o(h),2o 当n1,根据全概率公式有,t,(,t+h,两边同乘以et 后移项整理得,当n=1,则,代入(2)式有,利用初始条件,对一切n0均成立.,定理证明反之亦然,得泊松过程的
4、等价定义：,定义2设计数过程N(t),t0满足下述条件：,(1)N(0)=0；,(2)N(t)是独立增量过程；,(3)对一切0st,N(t)N(s)P(ts),即,注,特别有,EX.1 设N(t),t0)是参数为的泊松过程,事件A在(0,时间区间内出现n次，试求:,二、齐次泊松过程的几个结论,1.数字特征,N(t)P(t).,均值函数,方差函数,称为事件的到达率,是单位时间内事件出现的平均次数.,均方差函数 C(s,t)=min(s,t)，,相关函数 R(s,t)=min(s,t)+2st.,证：因泊松过程N(t),t0)是平稳独立增量过程，,不妨设 t s 0,R(s,t)=EN(t)N(s
5、)=EN(s)N(t)N(s)+N(s),=EN(s)N(t)N(s)+E N2(s),=EN(s)EN(t)N(s)+E N2(s),C(s,t)=min(s,t)R(s,t)=min(s,t)+2st.,一般地有,1)令X(t)=N1(t)N2(t)，t0,求X(t)的均值函数和相关函数.,2)证明 X(t)=N1(t)+N2(t),t0,是强度为1+2的泊松过程.,3)证明 X(t)=N1(t)N2(t)，t0,不是泊松过程.,EX.2 设N1(t)和N2(t)分别是强度为1和2的相互独立的泊松过程,2)根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t0,3)X(t)=N1(t
6、)N2(t)的特征函数为,独立和的特征函数,由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知X(t)不是泊松过程.,是强度为1+2的泊松过程.,2.时间间隔与等待时间的分布,t,W1,W2,W3,W4,N(t),是跃度为1 的阶梯函数,用Tn表示事件A第n1次出现与第n次出现的时间间隔.,称Wn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).,定理1,设Tn,n1是参数为的泊松过程N(t),t0的时间间隔序列，,则Tn,n1相互独立同服从指数分布，,且ET=1/.,证(1)因 T1t=(0,t)内事件A不出现,PT1t=PN(t)=0=et,即T1 服从均值为1的指数分布.,(2)由泊松过程的平稳独立
7、增量性,有,PT2t|T1=s=P在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s,=PN(t+s)N(s)=0,=PN(t)N(0)=0,=PN(t)=0=et,与s 无关,故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/的指数分布.,(3)对于一般 n1 和t0,以及 r1，r2，rn-10,有,PTnt|Ti=ri,1in1,=PN(t+r1+,+rn1)N(r1+r2+rn1)=0,=PN(t)N(0)=0=et.,定理2,参数为的泊松过程N(t),t0,事件A第n 次出现的等待时间服从分布,其概率密度为：,注：在排队论中称Wn 服从爱尔朗分布。,Wnt=N(t)n=(0,t)内A至少出现n次,证 因Wn是事件A 第 n次出现的等待时间,故,3.到达时间的条件分布,定理3,设N(t),t0是Poisson过程，已知在(0,t时间内A出现n 次,这n 次到达时间W1,W2,Wn的联合条件分布密度为,注,即与n个相互独立同服从 0,t上均匀分布随机变量的顺序统计量U(1),U(2),U(n)有相同分布.,
