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1、在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。,无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的振动形状作自由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频率作简谐运动。,求连续系统固有频率常用的近似方法：瑞利法；瑞利里兹法；假定振型法,3.7 计算固有频率的近似方法,例如：梁横向振动的振型函数方程为,对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！,根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常数，故最大动能Tmax和最大势能Umax应相等，即,对于任何一个连续系
2、统，只要近似地给出一个满足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势能，就可对基频进行估算。,瑞利法(能量法)就是根据机械能守恒定律得到的计算基频的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适用于连续系统。,3.7.1 瑞利法,如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函数Y(x)，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一瞬时的位移、速度为,不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为,在偏离平衡位置最远距离处，梁具有最大弹性势能,上式表明，当所假设振型函数Y(x)恰好是某一阶实际振型函数时，即可计算出该阶固有频率的精确解。事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只能近似地给出第一阶振型
3、函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。,根据机械能守恒定律得,在静平衡位置，梁具有最大动能,称为参考动能。,当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的动能。若在xi(i=1,2,n)处有集中质量mi(i=1,2,n)，则梁的最大动能为,当梁上xi(i=1,2,n)处有刚度ki(i=1,2,n)和扭转刚度ki(i=1,2,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为,在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型。例如，有一试探振型函数X(x)，满足边界条件，同时具有各阶导数。,若用X(x)代替上述公式中的Y(x)，则得梁弯曲振动的瑞利商,瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。,由于准确确定高
4、阶试探函数存在困难，通常选用静挠度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频的近似值。,可以证明，如果试探函数X(x)与系统振型函数Y(x)相差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差二阶小量。,由于用假设的试探函数代替精确的第一阶振型函数，相当于给系统施加了约束，增加了系统刚度，因此将使固有频率值提高，也就是说R(X)给出了系统固有频率的上限。,问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大 或 小？,另外，前面所讲的弦的横向振动，杆的纵向振动和轴的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。,对于不同的连续系统，只是T*和Umax的具体表达式不同而已。为了表示一般情况，以R表示瑞利商，即,此为
5、瑞利商的一般表达式。,例1 长为L，弯曲刚度为EJ，单位长度分布质量为m的悬臂梁，在其自由端有集中质量2M(M=mL)。试用瑞利法求梁弯曲振动的基频。,解：(1)采用分布载荷作用下梁的静挠度曲线为试探振型,式中,可以验算该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几何边界条件，即,选择为试探振型函数,将试探振型以及试探振型的二次导数代入瑞利商计算式，并注意到梁上没有弹性支承,计算积分，并代入M=mL，则求得,精确解,可见估计值与精确值的误差为2.8%。,(2)采用无自重悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线作为试探振型函数,式中,验算表明，该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几何边界条件。选择该函
6、数为试探振型函数，其二次导数为,代入式瑞利商计算式，固有频率为,悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为,计算积分，并代入M=mL，则求得,可见，估计值仅比精确解高0.02%。,从本例两种方案的计算结果可以看出，虽然两种情况与精解都比较接近，但第二种要比第一种好，原因是本题中集中质量比分布质量影响大，其挠度曲线更接近于实际的第一阶振型。若当悬臂梁质量大于端部集中质量时，则取受分布力作用的悬臂梁的静挠度曲线是较合适的。,精确解,静挠度曲线是最低阶振型函数的一种很有效的近似形状。,例2 图示变截面梁具有单位厚度，截面变化为A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0为根部截面积，设单位体积
7、质量为常数。试求弯曲振动基频的近似值。,解：由给定的条件，知截面积对中心主轴的惯性矩为,为简化计算，设幂函数为试探振型函数,该试探振型函数满足全部边界条件,将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得,基频的近似值为,精确值为,由瑞利法求出的基频较精确值高3.05%。,瑞利-里兹法是在瑞利法的基础上作了改进，可用以求出更精确的基频。,另外，瑞利-里兹法可以求得高阶固有频率和固有振型的近似值。,瑞利-里兹法的基本思想是把连续系统离散化为有限自由度系统，然后根据机械能守恒定律进行计算。,由于瑞利商提供了第一阶固有频率的上限(R，可见瑞利-里兹法降低了基频的估计值。,瑞利-里兹(Rayleigh-R
8、itz)法,为什么？,按照瑞利-里兹法，任意连续系统的试探振型函数可以用线性组合的形式构成,式中 U(x)为假定的试探振型函数，ai为待定系数；ui(x)是由分析者指定的空间坐标x的函数。,关于试探振型函数,函数ui(x)应满足所有的边界条件，至少必须满足几何边界条件，同时必须彼此是独立的。但ui(x)不同于振型函数，它不需要满足系统的微分方程。,函数ui(x)必须具有对自变量x的导数，且导数的阶数至少应等于特征值问题的微分方程的阶数。,系数ai的确定要使试探振型函数U(x)与系统的振型函数极为接近，数学上，这相当于去寻找使瑞利商有驻值的ai值。,在级数式中，用了n个函数ui(x)，实质上是把
9、一个无限自由度系统简化为n个自由度系统，这种离散化方案相当于把约束an+1=an+2=0强加给了系统。因为约束会增加系统的刚度，所以估计的固有频率就高于真实的固有频率。,增加级数式中函数ui(x)的数目，一般能降低固有频率的估计值(至少不会增大估计量)，这样就从右侧来逼近真实的固有频率。,基本思想：使估计量瑞利商R(U)尽可能地接近真实值，就是使泛函R(U)成为驻值。而使R(U)成为驻值的必要条件是将R(U)分别对每个系数ar(r=1,2,n)求偏导数，并令其等于零，即有,式中最大势能Umax=Umax（a1，a2，an）和参考动能T*=T*（a1，a2，an）都是未知系数ai(i=1,2,n
10、)的函数。,问题：给定函数ur(x)后，如何确定系数ar(r=1,2,n)？,因为瑞利商R=2=Umax/T*，则,Umax、T*如何确定？,上式含义：将连续系统的试探振型函数假设为n个线性无关函数的线性组合。经推导可以得到，连续系统的最大势能和参考动能可以表示为n个未知系数ai(i=1,2,n)的二次型，即,式中系数kij和mij是对称的,即有kij=kji，mij=mji(i,j=1,2,n)。,因为,关于该式的推导，下面再具体介绍。,最大势能、参考动能对系数ar的偏导数,式中jr和ir为克朗尼格符号。,参考动能对系数ar的偏导数可以写成为,最大势能对系数ar的偏导数,显然，上式是关于n个
11、自由度离散系统的特征值问题。写成矩阵形式为,式中，K和M为nn阶的对称常数矩阵，分别称为刚度矩阵和质量矩阵。,可得：,可求得固有频率和振型向量。,应用瑞利-里兹法求解连续系统的特征值问题，由于选用级数形式的假设振型函数，所以比瑞利法有所改进。,因为瑞利法只相当于取级数中的一项作为假设振型，因此求系统的基频时，瑞利-里兹法求出的基频的近似值比瑞利法求得的精度高。,将a(r)代入试探振型函数，可得固有振型的近似解,可以证明，振型函数 与连续系统的分布质量是正交的。,解：(1)杆的纵向振动,势能,动能,式中EA(x)为杆的轴向刚度，m(x)为单位长度质量。,令,最大势能、最大动能和参考动能分别为,将
12、 代入以上各式，可得,式中,类似可得,式中,显然，系数kij和mij是对称的。,关于轴的扭转振动，只须将以上各式中的杆的轴向刚度EA(x)和单位长度质量m(x)分别用轴的截面抗扭刚度GJ(x)和单位长度转动惯量I(x)代替即可。,(2)轴的扭转振动,(3)梁的弯曲振动,势能,动能,令,式中EJ(x)为弯曲刚度，E为弹性模量，J(x)为横截面的惯性矩，m(x)为单位长度质量。,最大势能、最大动能和参考动能分别为,式中,将 代入以上各式，可得,式中,常数kij和mij是对称的。,例4 图示变截面梁具有单位厚度，截面积变化为A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0为根部截面积，单位体积质
13、量为常数。用瑞利-里兹法计算梁的基频。,解：梁单位长度的质量和弯曲刚度分别为,取假设振型函数的试探函数为,边界条件验证,满足所有边界条件,最大势能,可见，Umax和T*均是待定系数a1和a2的二次型。,参考动能,因此,Umax对系数a1和a2的偏导数,因此,T*对系数a1和a2的偏导数,特征值问题,令，得频率方程为,即有,可求得,固有频率为,基频的精确解为,可见，由瑞利-里兹法求得的基频更接近于精确值，误差仅为0.09%。,前面瑞利法给出基频为,瑞利-里兹法小结,假定试探振型函数,ai为待定系数,瑞利商R(U)是待定系数ar(r=1,2,n)的函数,瑞利商R(U)存在驻点的条件：,连续系统的最
14、大势能和参考动能可以表示为n个待定系数ai(i=1,2,n)的二次型,瑞利商R(U)存在驻点的条件方程,上式是关于n个自由度离散系统的特征值问题。写成矩阵形式,可得：,可求得固有频率和振型向量。,瑞利-里兹法小结,解：选取在x=0端固定、x=L端自由的等截面均质杆的振型函数作为假设试探振型函数中的ui(x)，即,显然，函数ui(x)满足所有边界条件，同时又是相互独立的。,kij和mij为：,将函数ui(x)(i=1,2,n)和已知条件代入上面两式，得,(1)取n=1，从而得系数,则特征值问题方程简化为,得出固有频率的平方为,这是基频的首次近似，其结果和瑞利法所得到的结果完全一样，这是因为只取了
15、级数中的一项，瑞利-里兹法本质上就退化成瑞利法。,分别取n=1，n=2，n=3进行计算,取n=2。得矩阵,代入特征值方程，并解此特征值问题得,和n=1比较，可以给出更精确的基频估计量，同时还可以给出第二阶固有频率的首次估计量。,n=1,振型函数图,将a(1)和a(2)代入方程,可得两个估计的振型函数,取n=3。得矩阵,解特征值问题，可得,当n=1,对比可见，随着假设振型函数级数项数的增多，基频的估计值下降，从右侧逼近真实的基频。因此，得到了较好的基频和第二阶固有频率的估计量，同时还提供了第三阶固有频率的首次估计量。,当级数项数增多时，可以改进高阶频率的估计值。,当n=2,估计的振型函数为,振型
16、函数图：,假定振型法是求解连续系统特征值和响应的一种近似方法，它用有限个假设振型振动的线性组合来近似地描述弹性体的振动。,如果用能量来表示瑞利-里兹法中的瑞利商，则假定振型法得出同瑞利-里兹法一样的特征值问题。,另一方面，假定振型法特别有利于导出连续系统对于外激励或初始激励的响应。因此，重点介绍应用假定振型法求解连续系统的响应。,假定振型法,设连续系统的响应可以表示为有限级数的形式,式中 i(x)(i=1,2,n)为假设振型函数，它们必须满足几何边界条件；qi(t)是相应的广义坐标。,与瑞利-里兹法一样，本质上相当于将连续系统离散为一个n自由度的系统。,应用拉格朗日方程，结合连续系统响应的级数
17、表示，建立该n自由度离散系统关于广义坐标qi(t)的运动微分方程一组n个运动常微分方程。,以梁弯曲振动为例，建立系统运动微分方程。,写成,式中,梁弯曲振动的动能T可表示为,式中 为广义速度向量，M=mij为广义质量矩阵。,写成矩阵形式,梁弯曲振动的势能U可表示为,写成,式中,矩阵形式为,式中 为广义坐标向量，K=kij为广义刚度矩阵。,对于杆的纵向振动和轴的扭转振动中，动能和势能的表达式仍然可以用上述方法建立。动能与势能的表达式与梁横向振动的表达式相同，只是广义刚度矩阵中kij分别为,纵振：,扭振：,外激励一般可视为非保守力，拉格朗日方程为,式中 Qr(t)(r=1,2,n)为广义非有势力。,
18、广义非有势力,作用于系统上的分布力和集中力可以统一表示为,式中f(x,t)为分布力，Fj(t)(j=1,2,s)是s个作用于x=xj(j=1,2,s)的集中力，借助于函数将其表示为分布力Fj(t)(x-xj)。函数定义为,外激励在系统虚位移上所作虚功为,按广义力的定义有,虚位移,广义力为,由拉格朗日方程，得,或写成矩阵形式为,上式在形式上与一个具有n个自由度的离散系统的运动微分方程完全相同，因此按离散系统线性振动的振型叠加法便可以求出系统振动的固有频率和响应。,解：仍取x=0端固定，x=L端自由的等截面均质杆纵向振动的固有振型为假设振型函数，即,取n=3。杆纵向振动表示为,广义力为,运动微分方程,式中M和K均为33阶矩阵，质量系数mij和刚度系数kij(i,j=1,2,3)可按下式计算。,质量矩阵M和刚度K,质量矩阵M和刚度矩阵K的计算结果，与例5中的结果完全相同。,固有频率矩阵为,振型矩阵A为,正则因子,主质量矩阵,正则坐标变换,将i(t)代入坐标变换式，可确定qi(t)。,将各个qi(t)代入振动响应公式，可得出响应u(x,t)。,
