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1、5 向量和矩阵的范数,1向量的范数,定义1：设X R n，表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：,（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有,(1)非负性：即对一切X R n，X 0,0,(2)齐次性：即对任何实数a R，X R n，,设X=(x1,x2,xn)T，则有,（1）,（2）,（3）,三个常用的范数：,推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。,对常用范数，容易验证下列不等式：,矩阵范数的基本性质：,（1）当A=0时，0，当A 0时，0,（2）对任意实数和任意A，有,（3）对任意两个n阶矩阵A、B有,（4）对任意两个n阶矩阵A、B，有,2矩阵的范
2、数,定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数，则称 为矩阵A的相容范数，记为。,矩阵的相容范数：,矩阵的F范数：,定理8：设n 阶方阵A=(aij)nn，则,（）与 相容的矩阵范数是,（）与 相容的矩阵范数是,其中1为矩阵ATA的最大特征值。,（）与 相容的矩阵范数是,矩阵相容范数的性质：,（1）,（2）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有,（3）,求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？,设 A 精确，有误差，得到的解为，即,绝对误差放大因子,又,相对误差放大因子,4.线性方程组的性态和解的误差分析,2 Error Analysis for.,设 精确，A有误差，得到的解为，即,Wai
3、t a minute Who said that(I+A1 A)is invertible?,(只要 A充分小，使得,大,定义5：设A 为n 阶非奇矩阵，称数 为矩阵A的条件数，,条件数的性质：,）cond(A)1,）cond(kA)=cond(A)k 为非零常数,）若，则,记为cond(A)。,cond(H2)=,27,cond(H3),748,cond(H6)=,2.9 106,cond(Hn)as n,注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。,近似解的误差估计及改善：,设 的近似解为，则一般有,cond(A),改善方法：,Step 1:近似解,Step 2:,Step 3:,Step 4:,若 可被精确解出，则有 就是精确解了。,经验表明：若 A 不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若 A 病态，则此算法也不能改进。,
