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1、第五章 非线性模型,在现实社会经济活动中，经济变量之间的数量依存关系类型复杂，有些表现为线性关系，但更为普遍的则表现为非线性依存关系。,第五章 非线性模型,第一节 一元曲线方程的种类 第二节 曲线方程的线性化 第三节 案例,第一节 一元曲线方程的种类 一、双曲线方程（倒数模型）,Yt=bo+b1+ut,1Xt,bo 0,b1 0,bo 0,b1 0,0,X,Y,双曲线方程图象,或,=bo+b1+ut,1Yt,1Xt,函数形式：,倒数模型的基本特征：随着X的无限增大，Y将趋于极限值b0（或1/b0）即有一个渐进的下限或上限。现实经济活动中有些现象（如平均固定成本曲线、商品成长曲线、恩格尔曲线、菲
2、利普斯曲线等）都有类似的变动规律。可以运用倒数模型来进行描述。,二、双对数函数方程（对数模型）,方程形式：,对数模型的基本特点：斜率b直接度量了Y对X的弹性。,ln Y=a+b ln X,表示X变化1%，Y将变动b%如果X表示商品本身的价格，则b就是需求价格弹性如果X表示替代商品的价格，则b就是需求交叉弹性如果X表示消费者的收入水平，则b就是需求收入弹性在生产函数中，还可以表示劳动产出弹性、资金的产出弹性。,三、对数函数方程（半对数模型）,Y=a+b ln X,ln Y=a+b X,Y,0,X,a,b 0,a 0,b 0,对数函数图象,函数形式：,Y=a+b ln X 对数 线性模型,参数b的
3、经济意义：表示X变每动1%，Y将变动b个单位。,ln Y=a+b X 线性 对数模型,参数b的经济意义：表示X每变动1个单位，Y将变动100b%。,四、多项式函数方程,Y=bo+b1 X+b2 X 2+b3 X 3,多项式函数图象,Y,X,0,Y=bo+b1 X+b2 X 2,总成本曲线图形,Y=bo+b1 X+b2 X 2+b3 X 3,五、逻辑曲线,产品生长周期：产品生产量随着时间变化的过程，开始阶段发展较慢，接着是急剧增长，然后是平稳发展的周期，最后达到饱和状态，其轨迹形成一条“S”型曲线。,Y,X,0,K,K2,K1+a,第二节 曲线方程的线性化,一、直接代换法 直接代换法适用于变量之
4、间的关系虽然是非线性的，但因变量与参数之间的关系却是线性的非线性模型。,=bo+b1+ut,1Yt,1Xt,令 Y*=，X*=,1Xt,1Yt,Yt*=bo+b1 X t*+ut,得,双曲线方程,Y=bo+b1 X+b2 X 2+b3 X 3,令 X2=X 2，X3=X 3,得,Y=bo+b1 X+b2 X 2+b3 X 3,从而将一元 3 次方程转化为三元 1 次方程。,多项式函数方程,二、间接代换法 当经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形式，需要先通过方程两边取对数后再进行变量代换，转化为线性形式，这种方法称为间接代换法。,对方程两边取对数，得：ln Y=ln A+a
5、 ln L+b ln K,令 Y*=ln Y，A*=ln A，L*=ln L，K*=ln K则 Y*=A*+a L*+b K*,柯布道格拉斯方程,如何替换？,逻辑曲线方程,第三节 案例,案例1 根据平均成本U型曲线理论，成本函数可用产量的三次多项式近似表示。利用某企业的总成本和产量的统计资料，建立某企业的总成本模型和平均成本模型。,总成本模型,平均成本模型,案例2 某家用电器需求量的统计资料,案例3 柯布道格拉斯生产函数,柯布道格拉斯生产函数特征,(1)柯布道格拉斯生产函数是 阶齐次函数。假定所有投入都明确作为可变投入对待，比例报酬参数(即函数系数)就等于各项投入的b值之和。(2)各项投入的生
6、产弹性恒为常量，且为各投入要素的b值。,柯布道格拉斯生产函数特征,(3)所有的投入都必须大于0。由于柯布道格拉斯生产函数是乘积函数，缺少任何一项投入都将导致总产出为0，这个特点就限制了其使用范围。在应用柯布道格拉斯生产函数时一定要注意。(4)柯布道格拉斯生产函数没有最大值存在。当函数系数大于1时，产出值以递增的速率增加；当函数系数等于1时，产出值以固定的速率增加；当函数系数小于1时，产出值以递减的速率增加。,柯布道格拉斯生产函数的应用,(1)弹性值分析(2)边际值分析(3)测定科技进步率,产出年均增长率,资本投入年均增长率,劳动投入年均增长率,技术进步率,Y=A0etKL,GDP的年均增长速度资本的年均增长速度劳动的年均增长速度,数学分析：不同的生产函数,Y=ALaKbLNY=LNA+alnL+blnKdY/Y=dA/A+adL/L+bdK/KdA/A=dY/Y-（adL/L+bdK/K）科技贡献率=（dA/A）/（dY/Y）,作业：,安徽省自2000至2009年地方GDP增长了575%，其中投入的劳动增加了325%，资金增加了400%，请问安徽省科技进步贡献率是多少？（劳动与资金边际生产力分别是0.3与0.6).（书面作业）安徽省农产品趋势分析（上机实习）。,
