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1、计量经济学 南开大学经济学院 张伯伟,引 言,一、计量经济学,1、计量经济学（Econometrics）利用数学和统计推断为工具，在经济理论指导下对经济现象进行分析，并对经济理论进行检验和发展的一门学科。其内容涉及经济理论、数理经济、经济统计和数理统计等。2、计量经济学与经济理论 经济理论：定性 计量经济学：数值估计，检验3、计量经济学与数理经济学 数理经济学：以数学形式表述经济理论，不涉及理论的可度量性和经验方面的可论证性。计量经济学：利用数理经济学的数学方程式，并把之改造成适合于经验检验的形式。,4、计量经济学与经济统计学 经济统计：经济数据的收集、加工，不利用数据来检验经济理论。计量经济
2、学：以经济统计数据为原始资料进行分析。5、计量经济学与数理统计 数理统计：是计量经济学的基本工具，但由于经济数据的特殊性，力量经济学需要特殊的处理方法。,二、计量经济学的方法,基本过程：经济理论 理论的数学模型 理论的计量经济学模型 数据的收集整理 计量经济模型的参数估计 假设检验 预报和预测 控制或政策制定,例：检验凯恩斯关于边际消费倾向理论，或利用该理论进行经济控制或经济政策制定。,理论 人们的消费支出随收入的增加而增加，但消费支出的增加小于收入的增加。即边际消费倾向MPC大于零而小于1。（定性）建立数学模型 假定消费支出Y与收入X之间有如下关系：,其中，Y为消费支出，X为收入，a和b为模
3、型参数。B就是MPC。这里Y为因变量，X为自变量/解释变量。假定两者之间存在先行关系。（在不同情况下，数学模型的形式不一样，也可能是多个方程连立，有多个解释变量）,建立计量经济学模型 由于经济变量之间的关系不是确定的（以函数形式准确表达），必须修改数理模型，建立计量模型：,u为误差项，代表了影响变量间非确定关系的其他因素的影响。这是一个线性回归模型。,O,X,Y,斜率为b,数理模型,O,X,Y,斜率为b,计量模型,a,a,数据的收集整理 如果1980分析一国的消费情况，要收集该国的总消费支出数据和总收入数据。,(选择、加工）,美国1980-1991年个人消费支出与GDP(10亿美元,1987年
4、不变价格),计量经济模型的参数估计 采用回归技术，利用统计数据估计出参数a和b的经验值。,根据估计结果，美国1980-1991年的MPC约为0.72。假设检验 以一定的标准，对参数的估计结果进行检验。如果在统计意义上，b小于1，说明结果是可接受的。,预报和预测 如果计量模型可以接受，就可用来对因变量进行预测。假定1994年，美国的GDP预计为6万亿美元，则该年的消费支出预计为,控制或政策制定 如果希望1994年的消费支出达到4万亿美元，则政府必须通过政策来保证收入水平为：,三、计量经济学的内容,可分为理论和应用两大类。,理论计量经济学：研究适当的方法，来测度有计量经济模型设定的经济关系式。,应
5、用计量经济学：以理论计量经济学为工具，研究经济学或商业中的各领域。,四、计量经济学的应用软件包,有很多种。常用的有：TSP、SPSS、SAS等。,第一章 回归分析,一、回归分析 分析因变量与解释变量之间的统计依赖关系，目的在于通过后者的已知或设定值去估计或预测前者的均值。假定一个国家的所有家庭的收入（X）和消费支出（Y）统计如下，希望知道家庭消费支出与家庭收入之间的关系：Y=F（X）。,根据每个家庭的收入和支出绘出散点图，大致可看出二者间的关系：在统计意义上，二者成正比。,由对全体居民的收入和支出的调查结果，我们知道处于不同收入阶层的居民有一个平均的支出水平，这一支出水平与收入大致呈线性关系。
6、,图中的这条通过各收入阶层平均支出额的直线，描述了这一依赖关系。我们把这条线称为回归线。,二、统计关系与确定关系 在回归分析中，得到因变量与自变量之间的依赖关系是统计依赖关系，而不是确定关系或函数关系。三、回归与因果关系 回归分析得到的变量间的统计依赖关系，统计关系式自身不代表任何确定的因果关系。四、计量经济分析使用的数据 有三类。（1）时间序列数据。一个时间序列是对一个变量在不同时间取的一组观测结果。这些数据可以按固定的时间间隔收集。收集的数据可以是定量的，也可以是定性的（虚拟变量）。中国1993年1998年的GDP增长率（%）,（2）横截面数据。一个或多个变量在同一时点上收集的数据。199
7、2年实际GDP增长,（3）混合数据。,第二章 双变量回归分析,第一节 经典正态线性回归模型（CNLRM）,一、基本概念 以下表为例。,1、几个概念条件分布（Conditional distribution）：以X取定值为条件的Y的条件分布条件概率（Conditional probability）：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7。(表)条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y的期望值，记为E(Y|X)。例如，E(Y|X=80)=551/5601/5651/5701/5751/565总体
8、回归曲线（Popular Regression Curve）（总体回归曲线的几何意义）：当解释变量给定值时因变量的条件期望值的轨迹。2、总体回归函数（Popular Regression Function，PRFE(Y|Xi)=f(Xi)当PRF的函数形式为线性函数，则有，E(Y|Xi)=1+2Xi其中1和2为未知而固定的参数，称为回归系数。1和2也分别称为截距和斜率系数。上述方程也称为线性总体回归函数。3、“线性”的含义“线性”可作两种解释：对变量为线性，对参数为线性。一般“线性回归”一词总是指对参数为线性的一种回归（即参数只以它的1次方出现）。,4、PRF的随机设定 将个别的Yi围绕其期望
9、值的离差(Deviation)表述如下：ui=Yi-E(Y|Xi)或 Yi=E(Y|Xi)+ui其中ui为随机误差项（Stochastic error）或随机干扰项（Stochastic disturbance）。线性总体回归函数：PRF：Yi=1+2Xi+ui=E(Y|Xi)+ui5、随机干扰项的意义 随机扰动项是从模型中省略下来的而又集体地影响着Y的全部变量的替代物。显然的问题是：为什么不把这些变量明显地引进到模型中来，而以随即扰动项来替代？理由是多方面的：（1）理论的含糊性：理论不能完全说明影响因变量的所有影响因素。（2）数据的欠缺：无法获得有关数据。（3）核心变量与周边变量：希望能找到
10、与有较大影响的核心变量的关系。（4）内在随机性：因变量具有内在的随机性。（5）替代变量：用来代替不可观测变量的替代变量选择，造成一定误差。（6）省略原则：研究中尽可能使回归式简单。（7）错误的函数形式：回归式的的选择是主观的。,6、样本回归函数（SRF）由于在大多数情况下，我们只知道变量值得一个样本，要用样本信息的基础上估计PRF。(表）,样本1,样本2,样本回归函数SRF：,在回归分析中，我们用SRF估计PRF。,估计量（Estimator）：一个估计量又称统计量(statistic)，是指一个规则、公式或方法，以用来根据已知的样本所提供的信息去估计总体参数。在应用中，由估计量算出的数值称为
11、估计（值）（estimate)。样本回归函数SRF的随机形式为：,其中 表示（样本）残差项（residual）。,Xi X,PRF:E(Y|Xi)=1+2Xi,SRF：,Y,E(Y|Xi),SRF是PRF的近似估计。为了使二者更为接近，即要使,二、经典线性回归模型（CLRM）的基本假定 假定1：回归模型对参数是线性的假定2：在重复抽样中X的值是固定的（非随机）假定3：干扰项的均值为零。即，E(ui|Xi)=0假定4：同方差性或ui的方差相等。即Var(ui|Xi)=Eui-E(ui)|Xi2=E(ui2|Xi2=2假定5：各个干扰项无自相关。即Cov(ui,uj|Xi,Xj)=Eui-E(ui
12、|Xi)uj-E(uj|Xj)=E(ui|Xi)(uj|Xj)=0假定6：ui和Xi的协方差为零。即Cov(ui,Xi)=Eui E(ui)Xi E(Xi)=Eui(Xi E(Xi)=E(ui Xi)E(ui)E(Xi）=E(ui Xi)=0假定7：观测次数必须大于待估计的参数个数。假定8：解释变量X的只要有变异性。即一个样本中，Xi不能完全相同。假定9：模型没有设定误差。假定10：没有完全的多重共线性，即解释变量之间没有完全的线性关系。,第二节 双变量回归模型：估计,一、普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）基本思路：用样本回归函数估计总体回归函数。以,估计,
13、时，真实值,求解这一最小化问题，根据最大化的一阶条件：,可得到以下正规方程（Normal equation）：,二、参数的估计（点估计）：OLS估计量 1、解上述正规方程组得到估计值：,解出,，可得到估计值。,称为最小二乘估计量（OLS估计）。,2、OLS样本回归线的性质：,三、2 的估计 真实方差的估计量：,四、OLS估计的精度或标准误差 由于OLS估计是根据一个样本得到的，需要检验估计量的可靠性（reliability)或精密度。在统计学中，一个估计量的精密度由它的标准误（standard error,se)来衡量。,五、OLS 统计量的性质：高斯-马尔柯夫定理 在CLRM假定下，在所有线
14、性无偏估计量中，OLS估计量有最小方差，即OLS是BLUE（Best Linear Unbiased Estimator）。,（1）线性：,为Yi的线性函数,（2）无偏性：,为,的无偏估计量。,（3）最小方差性：OLS估计量,在所有线性无偏估计量中，具有最小方差。即,可以证明OLS估计量具有最小方差。,第三节 拟合优度检验,拟合优度检验是指对样本回归线与样本观测值之间拟合程度的检验。度量拟合程度的指标是判定系数R2。基本思路：因变量Y的变异，能够被X的变异解释的比例越大，则OLS回归线对总体的解释程度就越好。,Xi X,PRF,SRF,Y,总平方和（TSS）：实测的Y值围绕其均值的总变异：,定
15、义判定系数R2：,估计的Y值围绕其均值的总变异,未被解释的围绕回归线的Y值的变异,R2 测度了在Y的总变异中，由回归模型解释的部分所占的比例。R2 越高，回归模型拟合的程度就越好。R2 的性质：（1）非负。（2）0R2 1其它表达方式：,判定系数与相关系数的关系：相关系数：表示两个随机变量之间的相关程度。定义为：,以样本方差和样本协方差估计X、Y的方差和协方差，样本相关系数为：,样本相关系数的平方与判定系数相等，但二者的意义不同。,第四节 区间估计,为了判断点估计与真值的接近程度，可以通过构造以估计值为中心的一个区间（随机的），以该区间包括了真值的概率来确定估计值接近真值的把握程度：,一、的置
16、信区间,由于未知，以其估计值代替，,给定置信系数100（1-）%，随机的置信区间将有100（1-）%包含真值2。,二、的置信区间,三、的置信区间,第五节 OLS估计量的显著性检验,根据样本回归得到的总体参数的估计量，随着选取样本的不同观测值而不同；给定样本观测值时，得到的参数也与总体参数的真值不同。因此，必须对估计的参数值是否显著成立，做统计检验，即显著性检验。,一、的显著性检验,原假设 H0：2=0备择假设 H1：2 0,如果有理由认为2不能小于零（不能大于零），则在,2倍t法则,二、的显著性检验,原假设 H0：1=0备择假设 H1：1 0,三、回归方程的的显著性检验：F 检验 从方差分析（
17、analysis of variance,ANOVA)的角度，检验回归方程的显著性。根据总离查平方和的分解式：TSS=ESS+RSS，,总离差（TSS)的自由度为(n-1)，回归平方和（ESS)的自由度为1，残差平方和（RSS)的自由度为（n-2)。定义均方差=平方和/自由度，方差分析表（ANOVA/AOV表)为：,双变量回归模型ANOVA表,样本决定系数 R2 能够说明样本的拟和优度。但是我们还需要对总体做出推断，检验总体的线性是否成立。思路：若ESS/RSS 比较大，则X对Y的解释程度就比较高，可以推测总体存在线性。但是ESS/RSS 样本不同而不同，对于给定的样本，利用ESS/RSS 对
18、总体进行推断，必须进行统计检验。,原假设 H0：2=0备择假设 H1：2 0,若H0成立，说明回归方程无显著意义，总体不存在线性；若拒绝H0，则可认为回归方程显著成立，总体存在线性。因此，定义统计量,第六节 利用回归方程预测,根据经济理论建立线性回归模型，并利用统计资料对模型参数进行了估计，建立了回归方程。经过显著性检验，判定回归方程能正确反映经济现象时，一个重要目标就是利用回归方程进行预测。,一、均值预测,已知X的一个特定值X0，要预测Y0的条件均值（总体回归线上的对应Y值）E(Y|X0)，,显然，当X0越接近X 的均值，区间就变得越狭窄。,二、个值预测 预测给定X的值X0，对应的Y0，仍为
19、BLUE)。,小结：双变量线性回归分析的主要步骤,1、建立回归模型 研究某一经济现象，先根据经济理论，选择具有因果关系的两个变量（Y，X)，建立线性回归模型，确定解释变量和被解释变量。如果不明确两个变量是否为线性关系，也可以根据散点图来分析。建立回归模型可以是根据经济理论，也可以根据相同或相似经济现象的历史分析经验来建立回归模型。建立模型时，不仅要考虑理论或经验的依据，同时也要考虑数据的可利用程度。2、收集数据，并经过适当的加工整理，得到适于回归分析的样本数据集。3、估计模型参数。利用样本数据，以OLS得到模型参数的估计值。4、对回归模型和参数估计值进行检验。检验回归结果是否正确反映经济现象，
20、是否与理论相符。包括理论检验和统计检验。经济理论检验：参数的符号，大小是否与理论和实际相符。若不符，寻找原因（数据？模型设定？理论错误？）统计检验：拟和优度检验，估计量、回归方程的显著性检验。,5、预测 对于解释变量的特定值，带入回归方程得到因变量的预测值；在给定的置信水平上，得到因变量预测值的置信区间。6、回归结果的表述：,并说明参数的显著水平（）。,以回归分析为工具的实证分析文章的结构,一、研究的来源和基础 对研究的经济现象的描述；研究该现象的意义；相同或相似的代表性研究的方法、结论，并作总结评价；本研究的出发点；文章的结构介绍。二、理论分析 选择合适的经济理论，利用理论对要研究的经济想象
21、做定性分析，得到大致的结果；建立理论模型。三、建立回归模型 根据理论模型，建立合理、可分析的回归模型。回归模型的形式、解释变量的个数和选择，不一定与数理模型完全相同。四、对所使用的数据做出说明 数据的来源；数据加工的原因和处理方式；替代数据的说明等。五、回归结果及对结果的分析 列出回归的结果（包括参数的估计值和统计检验结果）；结合理论分析回归结果六、结论/总结/应用,第三章 多变量回归分析,第一节 多变量线性回归模型一、多变量线性回归模型的PRF 如果假定对因变量Y 有k-1个解释变量：X2，X3，Xk，k 变量总体回归函数为：,其中1为常数项，2 2 为解释变量X2 Xk 的系数，u为随机干
22、扰项。总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X2 Xk 的值时，Y的期望值：E(Y|X2，X3，Xk)。假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：,二、多 变量线性回归模型的基本假定,随机干扰项的期望值为0。,同方差性；无序列相关。,无多重共线性，即Xi(i=2,3,k)之间不存在线性关系：,随机干扰项服从正态分布。,三、多 变量线性回归模型的SRF,根据残差的平方和最小化的原理，解出参数的估计量。,第二节 多变量回归模型的OLS估计,一、参数估计,可得到如下正规方程组：,如果直接用矩阵微分，则,二、的估计量,三、的方差-协方差矩阵,四、OLS估计量 的性质：,第三节 拟合优度检验：一、判定系数R2
23、：,方差分析表（ANOVA),二、校正的R2：由R2的计算式可看出，R2 随解释变量的增加而可能提高（不可能降低）：,与解释变量X的个数无关，而 则可能随着解释变量的增加而减少（至少不会下降），因而，不同的SRF，得到的R2 就可能不同。必须消除这种因素，使R2 即能说明被解释的离差与总离差之间的关系，又能说明自由度的数目。定义校正的样本决定系数：,三、R2 与 的性质,第四节 显著性检验 一、单参数的显著性检验：,如果接受H0，则变量Xi 对因变量没有影响，而接受H1，则说明变量Xi 对因变量有显著影响。,检验 的显著性，即在一定显著水平下，是否显著不为0。,检验步骤：,如果根据理论或常识，
24、非负，则可做单侧检验，比较 t 与t。,二、回归的总显著性检验：检验回归系数全部为零的可能性。,方差分析表（ANOVA),显然，R2 越大，F越大，当R2=1时，F无限大。,选择显著水平，计算F统计量的值，与F分布表中的临界值进行比较：,第五节 解释变量的选择 在回归模型中的解释变量，除非由明确的理论指导或其他原因，在选择上具有一定的主观性，如何正确选择解释变量是非常重要的。一、解释变量的边际贡献分析 在建立回归模型时，假定我们顺序引入变量。在建立了Y与X2的回归模型，并进行回归分析后，再加入X2。考虑加入的变量X2是否有贡献：能否再加入后显著提高回归的解释程度ESS或决定系数R2。ESS提高
25、的量称为变量X2的边际贡献。决定一个变量是否引入回归模型，就要先研究它的边际贡献，以正确地建立模型。如果变量的边际贡献较小，说明改变量没有必要加入模型。分析变量的编辑贡献，可以使用方差分析表为工具，根据变量引入前、后的RSS的变化量及其显著性检验（扣除原来引入模型的解释变量的贡献），确定该变量的边际贡献是否显著。一个简单的检验方法，就是对引入新变量后的RSS增量与新的ESS的比值做显著性检验。,可以利用方差分析表来进行分析。设ESS为引入变量前的回归平方和，ESS 为引入m个新变量后，得到的回归平方和，RSS为引入变量后的残差平方和。ANOVA表如下：,在新引入变量的系数为0的原假设下，,把计
26、算出的该统计量的值与 显著水平下的临界值进行比较：,引入的新变量的边际贡献显著，则应该把这些变量纳入回归模型，否则这些变量不应引入回归模型做解释变量。,二、逐步回归法 如果根据理论，因变量Y与k-1个变量X2，X2，Xk 有因果关系，我们要建立的回归模型要在这些变量中选择正确的解释变量，要根据变量的边际贡献大小，把贡献大的变量纳入回归模型。分析边际贡献并选择变量的过程，实际上是一个逐步回归的过程。首先，分别建立Y与k-1个变量X2，X2，Xk 的回归模型：,回归后，得到各回归方程的平方和,选择其中ESS最大并通过F检验的变量作为首选解释变量，假定是X2。此时可确定一个基本的回归方程：在此基础上
27、进行第二次回归，在剩下的变量中寻找最佳的变量：建立k 2 个回归方程：,回归后，得到各回归方程的平方和：,同样，选择其中ESS最大并通过F检验的变量作为新增解释变量，假定是X3。此时可确定一个基本的回归方程：,重复这一过程，直到所有变量中，边际贡献显著的变量全部引入回归模型中为止，得到最终的回归式：,也可以采用逐步减少边际贡献不显著的变量的方式，逐步回归确定回归模型包括的变量，方法一样。,第六节 利用多元回归模型进行预测,对于多元回归模型：,通过回归分析，得到回归方程,后，就可根据给定的解释变量的一组值X0=(1,X20，X30，Xk0)，对因变量Y的值进行估计。,一、个值预测,为Y0及 的预测值。,二、区间预测,
