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1、5.3.1 刚体的转动惯量及计算,定义式：,1、刚体为分立结构,2、刚体为连续体,单位：,结论：J与质量及其分布有关，与转轴的位置有关。,式中 ri 为“质量元”Dmi 到转轴的距离。,（1）质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,几个常用 J 的计算举例：,（2）质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,（3）长为L、质量为m的均匀杆：,如果将轴移到棒的一端,取如图坐标，dm=dx,5.3.2 平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量J 等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc 加上刚体质量m乘以两平行转轴
2、间距离d 的平方.,平行轴定理应用举例：挂钟摆锤的转动惯量,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P 轴的转动惯量,对薄平板刚体的垂直轴定理,例 一质量为m，长为 l 的均质细杆，转轴在O点，距A端 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,(1),方向：,(2),例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）,解：,为其转过的角度,例 设A、B运动距离S后，细绳伸展，求“碰撞”后C的速度。,研究对象：A、B、C、圆柱。,
3、解：,A:,B:,圆柱：,利用质点动量定理和刚体角动量定理(设碰撞时间为t)：,C:,附加方程,与“碰撞”时细绳内的张力相比，重力等产生的冲量（矩）可以忽略！考虑到约束条件后，上述方程可简化为：,四个方程相加得：,注意,（1）上述讨论关键是对“碰撞”过程中，与冲击力 相比可以忽略一些常规力！,（2）上述结果在J0时，好象与A、B、C三个物体 的动量守恒相似？但情况决不是如此！这是同 学常常出现的错误。,（3）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量 守恒，也可以得到相同结果！,例“打击中心”问题,细杆：m，l，轴O，在竖直位置静止。若在某时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。,解：,如图示，除
4、力F外，系统还受重力、轴的支反力等。,可通过转动定律求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。,但这两个力对轴的力矩0。,只有F对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为：,细杆遵从动力学方程,质心运动定律分量式：,讨论,则：如图所示的冲击A点就称为“打击中心”。,不同的刚体“打击中心”与刚体的形状及质量分布有关。,在使用工具敲打东西时，要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。,例 半径为 R1 和 R2、转动惯量为 J1 和 J2 的两个圆柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？,设垂直于纸面向里为正向：,无相对滑动：,分别对 o1 轴和 o2 轴运用角动量定理。,解：,
