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1、3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系,讨论微观态 中某一力学量 时，总是以 的本征值谱作为力学量 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同力学量，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有：一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理:,1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系（1）算符之和：算符 与 之和 定义为 为任意函数 一般，例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 与势能算符 之和（2）算符之积：算符 与 之积定义为,（1）,（2）,算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒 个相同算符 的积定义为算符 的 次幂 例如 则 为
2、了运算上的方便，引入量子括号,（3）,（5）,若称算符 与 是不对易的（不能交换位置）即若 称算符 与 是对易的 即下面几个经常使用的对易关系 请自行证明,（6）,（7）,1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易动量算符是微分算符 因为 则坐标算符与动量算符：设 为任意函数,（12）,（13）,比较后可得 但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 其中坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。,（14a）,（14b）,(14c),1.3 角动量算符的对易关系只证明其中一个，请注意证明方法记忆方法：从左至右以 依
3、次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。,(15),以相同的推导方法和记忆规律，有 另外有,（16）,（17）,（18）,1.4 几个重要的推论(1)(2)（3）球坐标下 是 的函数，若有径向函数算符 则,（19）,（20）,（21）,（22）,2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 和 有一个共同的本征函数，则必有 及，即在 态中可以同时确定 这两个力学量的数值，那么 这似乎提醒我们有，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数），如果 和 有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数,（23）,有 则 这时才说 和 是对易的。这个结论
4、可以推广到多个算符，即如果一组算符有共同的本征函数完备系，则这组算符对易例如即在 态中 同时有确定值 及，所以 是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以,（24）,2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 系的共同的本征函数。这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符 和 相互对易，对于 的本征函数，有 可见 也是算符 的属于本征值 的本征函数。已经假定 非简并，所以对应 的两个本征函数 和 最多只能相差一个常数，所以,（26）,（25）,（27）,可见，同时也是 的属于本征值 的本征函数。同理，对 的其它本征函数也有此结论。所以，和 有组成完备系的共同的本征函数。例如，角动量算符
5、，所以它们有组成完备系的共同的本征函数，在 态中，力学量同时有确定值 及。氢原子哈密顿算符所以，对易，它们有组成完备系的共同的本征函数，在该态中三者同时有确定值：,（28）,2.3 力学量完全集 有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量。如果 的共同的本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它力学量，的共同的本征函数是否还有简并？我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全确定一个共同本征函数，则
6、这组力学量称为力学量完全集。在完全集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。,例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及。解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成，列表对应求解：,解法二 由 得 由 正交归一性得,例题二 在对某一状态进行测量时，同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？解：能。因为三个力学量对易，故共同本征态为,例题三 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均 值。解：首先应注意，是 的共同本征函数，而 不对易，故 不是 的本征函数。利用对易关系，则,同理 由于坐标 与 的对称性，可得，故3 不确定关系 若算符 和 不对易时，常记为 是一个力学量算符或普通的数。首先定义,（29）,
7、（30）,（31）,注意，仍为厄米算符，若巧妙设计积分利用 的厄米性，可推出(课本p91)最后得出不确定关系(代数中二次式理论)不确定关系,（32）,（33）,（34）,（35）,两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值,或者说，它们不能有共同本征函数。对不确定关系 应着重掌握其物理意义 例如 所以可见，若动量确定，；则，即位置 完全不确定。试想，动量为 的自由粒子以波长 的状态（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？,或,（36）,反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的不确定范围可参见教材。,（37）,例题4 一维运动的粒子处在 求 解：归一化后可得 利用 有,所以,所以,满足不确定关系,作业:3.11、13,
