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1、金融经济学 第五章之三,投资组合理论,马科维茨(H.Markowitz,1927)证券组合选择理论瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（Harry Markowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作资产组合选择理论。,一、现代投资组合理论的起源及基本思想,发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-Variance methodology.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础；这一理论通常被认为是现代金融学的发端。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大
2、突破。,主要贡献,西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段。1952年，Harry Markowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。1963年，Willian Sharpe提出了单指数模型。1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型（CAPM）。1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式。1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。,证券投资理论的发展,投资组合理论的基本思想,投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通
3、过分散化的投资来对冲掉一部分风险。“nothing ventured,nothing gained”for a given level of return to minimize the risk,and for a given level of risk level to maximize the return“Dont put all eggs into one basket”,案例,问题,对于休曼埃克斯组织来说，选择糖凯恩公司股票是否比选择国库券要好？若糖凯恩公司股票的收益状况如下：则情况又如何？,贝斯特凯迪公司股票的期望收益和标准差？糖凯恩公司股票的期望收益和标准差？糖凯恩公司股票和贝
4、斯特凯迪公司股票的协方差和相关系数？休曼埃克斯组织不同投资选择的期望收益和标准差？,两只股票的协方差为-240.5，相关系数为-0.86,（二）资产组合理论,基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）投资者希望持有有效资产组合。,2.1 组合的可行集和有效集,可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficient po
5、rtfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。有效集（Efficient set）：又称为有效边界（Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。,两种风险资产构成的组合的风险与收益,若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为,由此就构成了资产在给定条件下的可行集！,注意到两种资产的相关系数为1121因此，分别在121和121时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。,组合的风险收益二维表示,
6、2.2 两种完全正相关资产的可行集,两种资产完全正相关，即12 1，则有,命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得,两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。,2.3 两种完全负相关资产的可行集,两种资产完全负相关，即12=-1，则有,命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：,两种证券完全负相关的图示,收益rp,风险p,2.4 两种不完全相关的风险资产的组合的可行集,总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集,3种风
7、险资产的组合二维表示,一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。,类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。,n种风险资产的组合二维表示,总结：可行集的两个性质,在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。为什么？,收益rp,风险p,不可能的可行集,A,B,2.5 风险资产组合的有效集,在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会
8、明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。,整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如，与可行集内其它点所对应的投资组合（如点）比较起来，在相同风险水平下，可以
9、提供最大的预期收益率；而与点比较起来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是最小的。,总 结,A、两种资产的可行集完全正相关是一条直线完全负相关是两条直线完全不相关是一条抛物线其他情况是界于上述情况的曲线B、两种资产的有效集左上方的线 C、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域有效集：左上方的线,2.6 马克维茨的数学模型*,均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定
10、风险的条件下，收益最大化,对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下,上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组,和方程,这样共有n2方程，未知数为wi（i1，2,n）、和，共有n2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。,课外练习：假设三项不相关的资产。其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为1，求解最优的权重。,由此得到组合的方差为,（三）最优
11、风险资产组合,由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的风险规避程度。度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。,理性投资者对风险偏好程度的描述无差异曲线,同一条无差异曲线,给投资者所提供的效用（即满足程度）是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜,高风险被其具有的高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。,不同理性投资者具有不同风险厌恶程度,最优组合的确定,最优
12、资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。,资产组合理论的优点,首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。从单个证券的分析，转向组合的分析,资产组合理论的缺点,当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。解的不稳定性。重新配置的高成本。因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是CAPM。,在前面，我们讨论了由风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。假
13、设无风险资产的具有正的期望收益，且其方差为0。将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合，则可以证明：新组合的有效前沿将是一条直线。,风险资产与无风险资产间的配置3.1 资本配置线（CAL),命题3：一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。,一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。,报酬与波动率比率（Reward-to-variability ratio),资本配置线（Capital allocation line,CAL）,投资者试图通过选择风险资产的最优配置y来使自己的效应最大化 用数学
14、语言可以表述为：,6.3.2 总结与思考,为什么可以分步进行？,3.3分离定理,无论投资者的偏好如何，资产配置线上的点就是最优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。分离定理（Separation theorem）：投资者对风险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。所有的投资者，无论他们的风险规避程度如何不同，都会将切点组合（风险组合）与无风险资产混合起来作为自己的最优风险组合。因此，无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组合。风险厌恶较低的投资者可以多投资风险资产，少投资无风险证券，反之亦反。,分离定理对组合选择的启示,若市场是有效的，由分离定
15、理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策（Asset allocation decision）。资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。,基金A和基金B的相关系数为-0.2，投资者的风险厌恶程度A=5，则投资者应在股票基金A、B和国库券中各投资多少？,练习,具有无风险资产限制的最优资产组合,不存在无风险资产时的资产组合选择无风险资产存在但不能借入时的资产组合选择借贷利率不同情况下的资产组合选择,不存在风险资产,存在风险资产但不能借入,无风险借贷利率不相等条件下个人如果要借款投资于风险资产组合，必须付出比国库券利率高的利率。例如，经纪人索要的保证金贷款利率就高于国库券利率。,E(r),F,A,P,Q,B,CAL2,St.Dev,高风险忍耐的投资者,中风险忍耐的投资者,低风险忍耐的投资者,CAL1,
