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1、第二章 随机变量,随机变量及其分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布,随机变量的概念,在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念。,2.1 随机变量及其分布函数,一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；,另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果。,即试验结果可以数值化。,试验结果与数值有关的例子,4.观察一只灯泡的使用寿命；,5.测量某零件尺寸时的测量误差，。,1.观察掷一颗骰子出现的点数；,2.连续射击,直至命中时的射击次数；,3.某射手连续射击了30次,他击中目标的次数；,试验结果看起来与数值
2、无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例子,在投篮试验中，用0 表示投篮未中，1 表示罚篮命中，3 表示三分线外远投命中，2 表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化。,2.在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头的一面朝上，0 表示另一面朝上，则随机试验的结果也可数值化。,这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为:,.,X,定义一个实值函数 X(),将,称这种定义在样本空间上的实值单值函数X=X()为随机变量.,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随
3、机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).,说明:,(1)随机变量与普通的函数不同,有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。,如：用 X 表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。,事件 收到呼叫 X 1；,没有收到呼叫 X=0。,(3)随机变量与随机事件的关系,随机变量的取值一般用小写字母 x,y,z 等表示。,随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z 或希腊字母，等表示。,随机变量的分类,离散型,离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,
4、叫做离散型随机变量.,观察掷一颗骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能值是:,随机变量,连续型,实例1,1,2,3,4,5,6.,非离散型,其它,实例2 若随机变量 X 记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则 X 的可能值是:,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,随机变量 X 记为“击中目标的次数”,则 X 的所有可能取值为:,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量误差”.,则 X 的取值范围为(a,b).,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个或某些区间,叫做连续型随机变量.,则 X 的取值范围为
5、,我们重点研究离散型和连续型随机变量，因它们都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。,学习时要注意它们各自的特点及描述方法。,称为X的分布函数,(1)F(x)是普通函数，定义域,2.1.2 随机变量的分布函数,1.定义：,注意：,值域0,1.,(2)分布函数的几何意义,设X是一个随机变量，x 是任意实数，函数,例.往一个半径为2米的圆盘上射击，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.,解:,（1）若 x 0,则 是不可能事件，于是,（2）,X,若0 x 2,由题意，
6、有,（3）若,则 是必然事件，于是,0 1 2 3,1,F(x),x,综上，X的分布函数为,2.分布函数的性质,分布函数都有如下性质：,(1)F(x)是一个单调不减函数,0 1 2 3,1,F(x),x,即 F(x)是右连续的,反之,若某个实值函数具有上述性质,则它一定是某个随机变量的分布函数,说明：有的课本定义分布函数为,这时，分布函数左连续。,设X是一个离散型随机变量，其可能取值为 x1,x2,。,为描述随机变量 X，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。,2.2 离散型随机变量,说明,定义,2.2.1 离散型随机变量分布律的定义及性质,用这两条性质判断一个数列是否是概率分
7、布。,（概率分布）,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,解：依据概率分布的性质,欲使上述数列为概率分布，应有,例1：设随机变量 X 的概率分布为,确定常数 a。,从中解得,这里用到了幂级数展开式,例2：袋子中有依次标有-1，2，3的球1个、2个、1个，从中任取一球，X表示所取球的标号,求X的分布律和分布函数，并求：,Xpk,-1 2 3,当x-1 时，,0,x,X,-1,x,解：,由古典概率得：X的分布律为：,当,满足X,x的X取值为X=-1,x,X,-1,x,当,满足X,x 的X取值为X=-1,或2,Xpk,-1 2 3,同理当,-1 0 1 2 3 x,1,o,o,o,设离散型随机变量X
8、 的概率分布为 pk=P X=xk,k=1,2,X 的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,另解,注意：已知离散型随机变量的分布律，求分布函数时，区间端点应该放在左端点；求X取值在某个区间的概率一般用分布律，即,P24例2.6（2）解法例2.7(3)答案有误,要注意区间端点。,解:,则有,例3:,如何简单验证？,2.2.2 常见离散型随机变量的分布,1.两点分布或（0-1）分布,设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验,用=1,2 表示其样本空间。P(1)=p,P(2)=1-p.,则称X服从参数p的两点分布,记成 XB(1,p)。,即,例 4：200 件产品中，有196件正品，4件次品，今从中
9、随机地抽取一件，若规定,则 PX=1=196/200=0.98,PX=0=4/200=0.02.故 X 服从参数为0.98的两点分布,即 XB(1,0.98).,如果试验只有两种可能结果，称这样的试验为伯努利试验,将伯努利试验在相同的条件下独立地重复n 次，则称这一串试验为 n重伯努利试验.,(1)n 重伯努利试验,2.二项分布,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.,(2)二项概率公式,若X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，,设每次试验事件A发生的概率均为p，则X的所有可能取
10、值为,下面来求事件X=k的概率：,且两两互斥.,称这样的分布为二项分布.记为,(2)从次品率是p的产品中放回抽取n件，则其中次品的件数X服从 B(n,p)；,服从二项分布的随机变量很多，比如：,(1)n个人独立射击，设每个人击中目标概率都是p,则击中的人数X服从 B(n,p)；,则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解:每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,X：该生答对的题数，则,例5:一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？,靠猜测答对每一道的题的概率均为1/4，,例6:从次品率为p=0.2的一批产品
11、中，有放回抽取5次，每次取一件，分别求抽到的5件中恰好有3件次品以及至多有3件次品的概率.,解：,有放回抽取5次，可以看成是5重伯努利试验，,p=0.2,X：抽到次品的件数，则,A=恰好有3件次品,B=至多有3件次品，则,练习：将一枚硬币连掷3次，求恰有2次出现正面及既出现正面又出现反面的概率.,解：,记为B,X：正面出现的次数，则,P27 例2.9,2.11,二项分布 B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系。,设试验 E 只有两个结果:A 和。,将试验 E 在相同条件下独立地进行 n 次，记 X 为 n 次独立试验中A出现的次数，则X B(n,p)。,X=X1+X2+Xn.,引
12、入随机变量,则 Xi B(1,p)，,且 X1,X2,Xn相互独立，,则有,设随机变量 X 所有可能取的值为:0,1,2,概率分布为：,3.泊松分布,其中0 是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布,记作 X P()。,易见,例7：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3 的泊松分布。求：(1).一分钟内恰好收到3次寻呼的概率；(2).一分钟内收到2至5次寻呼的概率。.,解:,(1).PX=3=(33/3!)e-3 0.2240；(2).P2X5=PX=2+PX=3+PX=4+PX=5=(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169.,历史上，泊松分
13、布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。,二项分布与泊松分布的关系,定理1(泊松定理):对二项分布 B(n,p),当 n充分大,p又很小时,对任意固定的非负整数 k，有近似公式,例8：某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天内没有出租车出现故障的概率。,解:将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是,观察400辆出租车是否出现故障就是做 400 次贝努利试验。设 X 表示一天内出现故障的出租车数,则 X B(400,0.02)。令=np=4000.02=8，于是,P一天内没有出租车出现故障=PX=0(80/0!)e-8=0.0003355.,P29例2.15有误,小结,本节首先介绍离散型随机变量及其概率分布；然后介绍三种常见的离散型概率分布：两点分布、二项分布、泊松分布及其关系。,要求会写一般的离散型随机变量的分布律；记住三个常用分布、它们之间关系及应用。,预习：2.3连续型随机变量,
