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1、江汉大学文理学院,概率论与数理统计,2010年9月12月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056（Home）,15994278022（Mobil）,随机变量的数字特征,第四章,2 随机变量的方差、协方差与相关系数,退出,知识点、考点举要,一基本概念与基本结论,二基础算法与重要演算性质,连续型随机变量数学期望的求法,六个常用随机变量的数学期望,退出,随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望的求法,数学期望的算子演算性质,离散型随机变量数学期望的求法,范例、思考与练习,方差与协方差的具体计算公式与计算步骤,一,四,2 随机变量的方差、协方差与相关系数,三,方差、协方差与相关系数的概念,退出
2、,方差与协方差的算子演算性质,二,式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为,退出,返回,1.方差、协方差与相关系数的定义,随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出,一、方差、协方差与相关系数的概念,的波动，称为该随机变量的方差，记为,亦即,两随机变量X 与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形,亦即,比值，称为二者的相关系数，记为,两随机变量X 与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的,亦即,方差的算术平方根 称为随机变量的标准差.,退出,返回,2.方差与协方差的理论计算公式,对离散型变量,对连续型变量,或,或,易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广,并且显然还有,一、方差、协方差与相关
3、系数的概念,退出,协方差（含相关系数）,(设 C 是常数),方差,二、方差与协方差的算子演算性质,退出,方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一,返回,二、方差与协方差的算子演算性质,又 X 与Y 相互独立时,总有,当 X 与Y 相互独立时,恒有,以及,从而,作为协方差的特例，方差也应有,证,退出,方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二,返回,二、方差与协方差的算子演算性质,惟当 X 与Y 相互独立时,故此时必恒有,一般而论,总有,由于,证,退出,方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三,返回,二、方差与协方差的算子演算性质,以及,其中 X*与 Y*是标准随机变量,并且显然满足,证,即满足,
4、可见,【说明】本例只能求前者的方差,退出,方差,数学期望,返回,二、数学期望与方差的算子演算性质,D(X)=4,D(Y)=1,D(Z)=3.试求随机变量 U=2X+3Y+1,解,例2-1 设 X,Y,Z 相互独立,E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8.,与随机变量V=YZ4X 的数学期望和前者的方差.,难以准确地求出后者的方差.事实,上，后者的方差只能求出一部分,退出,返回,三、方差与协方差的具体计算公式与计算步骤,1.方差的具体计算公式与实际计算步骤,对离散型变量,对连续型变量,退出,返回,2.协方差的具体计算公式与实际计算步骤,对离散型变量,对连续型变量,三、方差与协方差的具体计算公
5、式与计算步骤,是 X 与Y 的协方差.,*3.方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称,k 阶原点矩,退出,返回,【注】,就是 X 的数学期望.,X 的一阶原点矩,是 X 平方的数学期望.,X 的二阶原点矩,X 的二阶中心矩,是 X 的方差.,三、方差与协方差的具体计算公式与计算步骤,k+l 阶混合中心矩,k+l 阶混合原点矩,k 阶中心矩,X 的二阶混合原点矩,是 X 与Y 乘积的数学期望.,X 的1+1阶混合中心矩,退出,返回,3.方差与协方差的实际计算公式与计算步骤,对连续型变量,或,一、数学期望和方差的定性与定量定义,易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广,或,退出,返回,【注2
6、】显然，对连续随机变量而言,三、随机变量常用矩函数与函数数学期望的一般算法,2.常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称,k 阶原点矩,k 阶中心矩,X 的一阶原点矩,X 的二阶原点矩,X 的二阶中心矩,例4-1 已知 X 的分布律如下表所示，试求 E(X)，E(X 2)和 E(2X3X 2).,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,解,例4-2 已知(X,Y)的联合分布律如右表所示.求 E(X),E(Y),E(XY)和 E(XY).,注意:,但一般讲,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4-3 随机变量X 的概率密度,Y=2X 和 Y=e-2X 的数学期望。,试求,解,退出,返回,四、范例、
7、思考与练习,例4-4(X,Y)的概率密度,E(X),E(Y)；E(XY),E(X 2+Y 2).,试求,y=x,解,x=1,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4-4(X,Y)的概率密度,E(X),E(Y)；E(XY),E(X 2+Y 2).,试求,y=x,解,x=1,退出,返回,四、范例、思考与练习,例4-5 X 和Y 相互独立,二者的概率密度,则 E(XY)().,C.8/3 D.7/3,C,A.4/3 B.5/3,退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,例4-6 天若无雨,水果商每天可赚100元;天若有雨,水果商每天损失10元.一年365天,贩卖水果地的下雨日约130日.问水果商在该地卖
8、水果,每天可期望赚多少钱?,返回,水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为,解,从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为,即水果商每天可期望赚 60.82 元.,100 10,四、范例、思考与练习,寿命不到一年的概率显然为,例4-7 设备的寿命XE().该设备售出一台盈利100元,因年内损坏而调换则亏损200元.求出售一台设备的盈利数学期望.,因此，一台设备出售的盈利值Y 有分布律,从而寿命超过一年的概率即,退出,返回,解,可见,四、范例、思考与练习,200 100,第 i 站有人下车记为Yi=1，第 i 站无人下车记为Yi=0,（i=1,2,10）,则专线车停车的次数,*例4-8 载有20名旅
9、客的专线车在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则 E（X）=？,因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/10，不下车的概率为9/10，从而,，从而就有,退出,返回,解,四、范例、思考与练习,任一弹着点与目标间的距离显然为,*例4-9 用(X,Y)记炮击的弹着点坐标.设坐标XN(0,2),坐标Y N(0,2),且二者相互独立.试求弹着点与目标(0,0)间的平均距离.,X 与Y 相互独立，且XN(0,2),YN(0,2),可见,弹,退出,返回,解,着点与目标间的平均距离应为,从而,四、范例、思考
10、与练习,韩旭里等编概率论与数理统计教材第四章 习题四 P112P117 批改题 P112:1.(求离散变量的数学期望)P113:5.11.(求连续变量的数学期望与方差)7.(利用算子演算性质计算数学期望与方差)8.9.（利用独立性简化数学期望的求算）10.(求连续变量的数学期望)12.(对实际问题求数学期望与方差),退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,返回,P112P113参考答案,四、范例、思考与练习,5.,1.,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,8.,7.,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,10.,9.,又X 与Y 相互独立，,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,11.,退出,返回,12 合格品取出之前所取废品数 X 的分布列为,四、范例、思考与练习,P112P113参考答案,第 k 次才取到废品的概率,12.,您真的要退出吗？,Yes,No,多媒体研制组,二0一0年十二月,概率论多媒体课件,Exit,
