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1、第一节 泊松过程的基本概念,第三章 泊松过程,由定义,计数过程具有以下两个特点:,(1)取值为非负的整数;,(2)时,且 表示时段 内 事件A发生的次数.,(1),(2)有独立增量;,(3)对任意的,有,由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数(均值)为 的泊松分布.,在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程另一个等价定义.,若在任一时间区间中发生的事件个数 的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程 有平稳增量.这就意味着此时 与 有相同的分布.,(1),(2)过程有平稳与独立增量;,(3),(4),若 是参数为 的泊松过程,
2、则有,于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数.,称 为泊松过程的强度、风险率或速率.,例1,例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程.如果每次事件发生时以概率 能够记录下来,并以 表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明 是一个强度为,的泊松过程.,证 满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也满足第三个条件.,显然,的可能取值为 并且由全概率公式,有,而,若,若,由题意,于是,所以,是一个强度为 的泊松过程.,第二节 与泊松过程相联系的若干分布,预备知识,(1)函数定义为:,(2)有关 函数的几个重要公式:,当 时,就是参数为 的指数分布.,引理 设 相互独立且均服从参数为 的指数分
3、布,则有,(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记 为第 次事件发生的时刻,是第 次与第 次事件发生的时间间隔.,一.和 的分布,定理3.2 服从参数为 的指数分布,且相互独立.,证 当 时,有,所以,又,即 相互独立且均服从参数为 的指数分布.,重复以上的推导可证定理之结论.,定理3.3,证 由于,故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.,注:1 的概率密度为,2.,由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.,定义3.3 设 是计数过程,如果它的相继到达时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 为泊松过程.,定理3.2的直接推论 设泊松过程的强度为,记 为过程
4、的到达间隔,则,引理(无后效性或无记忆性)设随机变量 服从参数为 的指数分布,则,证,第三节 泊松过程的推广,一、非齐次泊松过程,定义3.4 计数过程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果,(1),(2)过程有独立增量;,(3),(4),令,则有如下的等价定义.,定理 定义3.4与定义3.5是等价的.,证 只需证,证明过程将要用到母函数的概念,从略.,例3.7 设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.求它在使用期内只维修过一次的概率.,解 由题意,强度函数为
5、,则在使用的期限(10年)内,故障发生的次数 服从参数为,的泊松分布,故,二.复合泊松过程,定义3.6 称随机过程 为复合泊松过程,如果对于,它可以表示为如下形式,其中 是一个泊松过程,是一族独立同分布的随机变量,并且与 独立.,例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.第 个顾客在商店购物支付的款数记作,并设 相互独立同分布,则在时段 中商店的营业额,是一个复合泊松过程.,例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.,定理3.6 设 是一复合泊松过程,其中泊松,过程 的强度为,则,(
6、1)具有独立增量;,(2)若 均存在,则,证,(1)令 由于 具有独立增量性,故,相互独立,即 具有独立增量性.,(2),（2）的证明需要用到矩母函数（略）.,例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.每次赔付为均值为10000元的正态分布,则一年中保险公司平均赔付额是多少?,解 由题意,有,故所求的值为,(元),三.条件泊松分布,在实际问题中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事件出现的频率是不能预先确定的,往往是一个随机变量,而当频率确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程.这就是本节所要研究的条件泊松过程.,定义3.7 设 是具有分布 的正
7、值随机变量,如果在给定 的条件下,计数过程 服从参数为 的泊松过程,则称 是条件泊松过程.,由定义可知,如果 是条件泊松过程,则有,定理3.7 设 是条件泊松过程,且,则,(1),(2),证,(1),(2),例3.11 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能,且,为已知,并且已知到时刻 已发生了 次事故.(1)求下次事故在 之前不会到来的概率;(2)发生的频率是 的概率.,解(1)所求的概率为,以及,课堂练习,习题1.通过某十字路口的车流是一泊松过程，设每分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求两分钟内有多于一辆车通过的概率。习题2.在时间t内向电话台呼叫k次的概率为 如果任意两相邻的时
8、间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t被呼叫n次的概率。习题3.设顾客到达商场的速率为2个/分钟，求：（1）5分钟内到达顾客数的平均值；（2）5分钟内到达顾客数的方差；（3）5分钟内至少有一个顾客到达的概率。,习题4.设顾客到某商场的过程是泊松过程，已知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔（1）超过2min；（2）少于4min；（3）在13min之间习题5.某商店从上午8时开始营业下午5时关门，平均顾客到达率满足：从8时到11时线性增加，8时开始为5人/h，11时为高峰，达到20人/h；从11时到下午1时到达率不变，从下午1时到5时线性递减，5时为12人/h。设在不相重叠的时机间隔内到达的顾客数是相互独立的。求（1）上午8时半到9时半内顾客到达数的期望；（2）该段时间内无顾客到达的概率 习题3.设移居到某地的户数是一泊松过程，平均每周有2户移居。设移居的每户的人口数是一随机变量，一户有4人的概率是1/6；3人的概率是1/3；2人的概率是1/3；1人的概率是1/6。求五周内该地移居人数的期望与方差。,
