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1、随风潜入夜 润物细无声(续),李尚志 中国科学技术大学,数学实验:几何变换,(x,y)(x,y)x=f1(x,y),y=f2(x,y)曲线C:x=x(t),y=y(t)曲线C：x=f1(x(t),y(t),.y=f2(x(t),y(t),线性变换,x=a1x+b1y,y=a2x+b2y.画出由平面直线段或曲线段组成的图形C及其象C。观察：直线、平行、垂直、长度、角度、圆?,线性变换前后的图形,向量方向的变化,选取特征向量为基,矩阵的相似对角化,AX1=aX1,AX2=bX2,AX3=cX3A(X1,X2,X3)=(X1,X2,X3)DD=diag(a,b,c),P=(X1,X2,X3)AP=P
2、D,P-1AP=DA 相似于对角形 D.,矩阵乘积的行列式,几何观点矩阵A决定线性变换f:XAX所有图形的n维体积变为原来的 detA倍.g:YBY.n维体积 detB倍.gf:X(BA)X,n维体积 原来的det(BA)倍=(detB)(detA)倍.,代数证明,BAB,det(AB)=a detB 情况1.A是初等矩阵:A:互换两行,a=-1=det AA:某行乘l倍,a=l=det AA:某行的l倍加到另一行,a=1=detA情况2.A不可逆:detA=0,AB不可逆,det(AB)=0=(detA)(detB).,代数证明,情况3.A可逆.A=PsP2P1,其中 Ps,P2,P1是初等
3、矩阵det(AB)=det PsdetP2 detP1 detB(1)取 B=I 得 detA=det PsdetP2 detP1 代入(1)得 det(AB)=(detA)(detB),多元微积分的线性代数模型,微积分基本思想:非线性线性复合函数的导数:,隐函数存在定理 F(x,y)在某点P0可微何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?线性化:y=f(x)在 x0 可微,导数为,可微函数n 个方程=0,线性化 即当 det B 时有唯一解,隐映射定理,电子琴为什么能模拟不同乐器的声音,不同乐器的声音区别 音色。y=A sin(kt).k音调,A响度，？音色sin(x)+sin(3x)/
4、3+的图象y=a1sin(wt+b1)+a2sin(2wt+b2)+音色 波形 系数 a1,a2,.比例,sin x+sin(3x)/3+sin(nx)/n,网上资源,http:/精品课程国家级数学实验(2003),线性代数(数学专业)(2004)http:/常用连接 网上数学实验,参考文献,线性代数(数学专业用),高教出版社,2006.让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会,中国大学教学,2006年第7期线性代数精彩应用案例(之一),大学数学,2006年第3期线性代数精彩应用案例(之二),大学数学,2006年第4期若当标准形的计算,大学数学,2006年第5期从问题出发引入线性代数概念,高等数
5、学研究,2006年第5期,第6期,精品课程为谁建设-学生!,建设精品课程时不知道教育部要评精品课!教数学,教学生 懂数学,懂学生,精品课程的关键,特色影响多媒体教学:1.发挥多媒体优势 2.不为多媒体而多媒体,数学建模主要思想 实际问题-建模 数学模型 i求解 实际解 检验-数学解,用建模思想建设 线性代数精品课程,将数学建模思想引入基础课程教学（一）,利用基础课知识建立模型解决问题:(1)来自现实生活的实际问题(2)数学自身发展提出的问题,将数学建模思想引入基础课程教学（二）,从问题出发 建立数学模型解决“发明”出基础课程的知识-人类的旧知识,学生的新知识,用建模思想建设线性代数精品课程,1
6、.随风潜入夜:建立模型解决问题 线性代数知识 2.润物细无声：线性代数知识 建立模型解决问题,若干问题之1,1.适用对象:针对不同对象的共同点!数学专业,非数学专业.好学生,“差”学生.针对不同对象的不同点:要求不同.好学生需要生动,难道差学生只能枯燥?2.改革:让学生更容易.老师需要重新学习,开头难,适应之后容易.帮好学生求发展,学创造发明 帮“差”学生求生存,学懂最基本内容.,若干问题之2,3.改革有风险:学郭靖,不学慕容复.知风险,:从问题出发:可能费课时,冲淡主题.从本专业应用问题开始：可能狭窄,难懂.防风险:中庸之道,适可而止,因人而易.4.几何比代数更难?几何直观不好算，代数好算不直观。凌波微步，左右逢源,若干问题之3,5.数学味=严格?数学:创新,抽象,严谨 思想重于材料 想法指挥算法。严格性例子:秩的定义的合理性-工笔画不严格例子:n 维体积-写意画.先粗后细.(不能先错后对).,数学聊斋四则,之一 峨嵋山的佛光,数学聊斋四则,之二 指鹿为马之幼儿版,博比:长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码:合法码两两之间差异大(至少3位)原码传输 错码:010010101011纠错 最接近的合法码,数学聊斋四则 之三 人与照片之维数 之四飞檐走壁之电影 实现,谢谢！,
