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1、1,应用数学基础（一）习题,第一章 集合上的数学结构1.判断下列命题的真假:,2.设A,B,C为集合,AB且BC,证明:AC.3.化简:(ABC)(AB)-(A(B-C)A.,4.证明:(1)C-(AB)=(C-A)(C-B);(2)C-(AB)=(C-A)(C-B).,2,5.证明:(1)A=A;(2)AB=BA;(3)A(BC)=(AB)C;(4)AA=;(5)若AC=BC,则A=B,6.设f:RRR,f(x,y)=x+y,证明：f是满射，但不是单射。,7.设f是A到A的满射，且ff=f,证明：f=IA.,8.证明:NN是可数集.,9.判断下列集合对于指定的运算是否构成实线性空间:,3,(
2、1)次数等于n(n1)的实系数多项式全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法；,（2）n阶实对称（反对称）多项式矩阵全体，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法。,(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数与向量的乘法。,（4）主对角线上各元素之和为零的全体n阶实矩阵的要合，对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法。,4,10.设向量组x1,x2,xmV(F)线性相关。证明：向量组x1,x2,xm，xm+1,xn(nm)V(F)也线性相关。11.设向量组x1,x2,xnV(F)线性无关。向量组x1,x2,xn，xV(F)线性相关。证明：x可由x1,x2,xn线性表示。,12.在向量空间Rn中，下列
3、向量集合是否构成Rn子空间？为什么？如果是子空间，它的维数是多少？（1）前两个分量之和为零的全体向量V。,5,(2)前两个分量之和不为零的全体向量V.(3)奇数分量之和等于偶数分量之和的全体向量。(4)所有分量之和等于1的全体向量。,13.设x1,x2,xn是线性空间Vn(F)的一组基，y1,y2,yn是Vn(F)的n个向量，有,试证：y1,y2,yn线性无关|A|0，A=(aij)n,6,14.设Eij表示R22中第(i,j)元素为1，其余元素均为零的矩阵；Gij表示第(i,j)元素为0，其余元素均为1的矩阵。试证：E11，E12，E21，E22与G11，G12，G21，G22分别为R22的
4、基；并求由E11，E12E21，E22到G11，G12，G21，G22的过渡矩阵及矩阵,分别在这两组基下的坐标。,15.设,证明:W1,W2是R22的子空间,并求W1,W2,W1+W2,W1W2的维数.,7,16.设W1，W2分别是齐次线性方程（组）x1+x2+xn=0与x1=x2=xn的解空间,证明:Rn=W1W2.,17.设AR,证明:A是闭集.,18.设(),是常数。证明：,|()是闭集；(,)()是开集,19.证明：若（,）是度量空间,则（,）也是度量空间，其中(,)（,(,)（,）。,8,20.设（，）是度量空间,则（，）也是度量空间，其中,21.设（,）,（,）和（,）都是度量空间
5、，F：，：都是连续映射。证明：H：是连续映射。,22.证明：设（,）是一个完备度量空间，A是X的子集.则A是闭子集A是X的完备子空间。,9,23.设,是度量空间(X,d)中的Cauchy列n,的子序列,证明:若,收敛于，则n,也收敛于。,24.设有线性方程组,应用压缩映射原理证明：这个方程组有唯一的解。,25.证明：赋范线性空间V上的范数是连续的。证：。,10,26.设V是赋范线性空间。M称为凸集，如果,，总有（）。证明：开球1()是凸集。,27.设,是Banach空间V中无穷级数。,证明：如果nn（,),则,收敛.,11,28.设A=(aij)nRnn,trA=a11+a22+ann,A=(
6、aij)n,B=(bij)nRnn,定义:,则有(A,B)=tr(ABT),证明：(A,B)是Rnn的内积.,29.设x1,x2,xn为欧氏空间Vn(R)的一组向量,而,证明:|G|0 x1,x2,xn线性无关。,12,30.证明：任一R上n维内积空间Vn(R)与Rn同构。,31.证明：在内积空间V（R）中，x,yV(R),恒有,32.设x1=(1,1,0)T,x2=(2,0,1)T,x3=(2,2,1)TR3,求一组与x1,x2,x3等价的标准正交基。,13,33.设M和N是Hilbert空间H中的闭子空间，且M，证明：MN是H中的闭子空间。,34.设H是内积空间，证明：若wH,有(u,w)=(v,w)(u,vH),则u=v。,35.设H是，上连续实函数空间，定义内积：,M是H中奇函数子空间（：（）（），N是H中偶函数子空间。,14,36.设en是Hilbert空间H中的标准正交系。证明：en是标准正交基,
