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1、知识结构,要点复习,例题解析,巩固练习,平面向量复习,平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行的充要条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,平 面 向 量 复 习,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,平 面 向 量 复 习,几何表示,:有向线段,向量的表
2、示,字母表示,坐标表示,:(x，y),若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=,(x2 x1,y2 y1),平 面 向 量 复 习,向量的模（长度）,1.设 a=(x,y),则,2.若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则,平 面 向 量 小 复 习,已知向量a=（5，m）的长度是13，求m.,答案：m=12,平 面 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a+b=,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),(x1+
3、x2,y1+y2),AC,OC,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B,OAOB=,2）坐标运算:,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=,3.加法减法运算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2,y1 y2),平 面 向 量 复 习,例1 化简（1）（AB+MB）+BO+OM（2）AB+DA+BD BCCA,分析,利用加法减法运算法则，借助结论,AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0,进行变形.,解：,原式=,AB+（BO+OM+MB）,=AB+0,=AB,（1）,（2）
4、,原式=,AB+BD+DA（BC+CA）,=0BA=AB,例1,平 面 向 量 复 习,练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC.,A,F,E,D,C,B,a,c,b,答案：,AD=2 b,BE=2 c,BF=ca,FC=2 a,思考：a、b、c 有何关系？,b=a+c,0,平 面 向 量 小 复 习,练习3（课本P149 复习参考题五 A组 7）已知点A（2，1）、B（1，3）、C（2，5）求（1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标；（3）ABAC的坐标.,答案：（1）AB=（3，4），AC=（4，4）,（2）AB+
5、AC=（7，0）,（3）ABAC=（1，8）,平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度|a|=,|a|；,它的方向,(1)当0时,a 的方向,与a方向相同；,(2)当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a=(x,y),则a=,(x,y),=(x,y),平 面 向 量 复 习,非零向量平行（共线）的充要条件,ab,a=b（R且b0）,向量表示：,坐标表示：,设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则,ab,x1y2x2y1=0,平 面 向 量 复 习,平面向量的基本定理,设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向
6、量，那么对该平面内的任何一个向量 a，有且只有一对实数1、2 使,a=1 e1+2 e2,不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有向量 的一组基底,1 e1+1 e2=2 e1+2 e2,1=2,1=2,向量相等的充要条件,1、平面向量数量积的定义：,数量积,3、运算律:,2、数量积的坐标运算,4、向量垂直的判定,5、向量的模,6、向量的夹角,坐标表示,向量表示,0,180,cos=,2,1,2,2,2,1,1,1,2,1,PP,P,P,y,x,P,y,x,P,P,P,y,x,P,l,l,=,即,）,，,（,），,，,（,，其中,所成定比为,）分有向线段,，,（,点,定比分点P的坐
7、标,中点坐标,7、线段的定比分点,平 面 向 量 复 习,例2 已知 a=(1,2),b=(3,2),当k为何值时,ka+b与a3b平行?平行时它们是同向还是反向?,分析,先求出向量ka+b 和a3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示,得到关于k方程,解出k,最后它们的判断方向.,解:ka+b=k(1,2)+(3,2)=,思考:此题还有没有其它解法?,(k3,2k+2),a3b=(1,2)3(3,2)=,(10,4),(ka+b)(a3b),4(k3)10(2k+2)=0,K=,ka+b=,=,(a3b),它们反向,例2,平 面 向 量 小 复 习,n为何值时,向量a=（n，1）与b=(4,n)共线且方向相同?,答案：n=2,思考:何时 n=2?,平 面 向 量 复 习,例3,设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。,分析,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB与BD有公共点B,A、B、D 三点共线,AB BD,例3,平 面 向 量 小 复 习,已知a=（1，0），b=（1，1），c=（10）求和，使 c=a+b.,答案：=1，=0,祝同学们学习进步！,再见！,
