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1、万有引力定律,高中物理会考复习,1、行星运动发展史-地心说与日心说之争,地心说的观点：地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。,日心说的观点：太阳是宇宙的中心,静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。,两种观点都认为天体的运动是最完美、和谐的匀速圆周运动，而且遵循的运动规律和地面上物体的运动不同。,第一节 万有引力定律,一、行星运动,1下列关于地心说和日心说的说法中，正确的是 A地心说的参考系是地球 B日心说的参考系是太阳 C地心说与日心说只是参考系不同，它们是等价的 D日心说是由开普勒提出来的,（AB）,开普勒第一定律（轨道定律）,所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭
2、圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。,2、开普勒三大定律,开普勒第二定律（面积定律）,对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。,开普勒第三定律（周期定律）,所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。,2、如图所示虚线为地球绕日运动的椭圆轨道太阳处于该椭圆的 上，当地球处于轨道上A处时，北半球正值。（填“夏季”或“冬季”）,3有一个名叫谷神的小行星，它的轨道半径是地球的277倍，则它绕太阳一周需要 年,B、30年；,D 90年,4、测得海王星绕太阳公转的轨道半径是地球绕太阳公转轨道半径的30倍，则它的公转周期约是,（C）,一个焦点,冬季,4.61,行星
3、理所应当的做这种完美的圆周运动,一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动。,受到了来自太阳的类似与磁力的作用。,在行星的周围有旋转的物质作用在行星上，使得行星绕太阳运动。,受到了太阳对它的引力，证明了如果行星的轨道是圆形的，其所受的引力大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比。,对行星运动的各种动力学解释,17世纪前,伽利略,开普勒,迪卡尔,胡克哈雷,万有引力定律的推导及基本内容,定律的推导,推导万有引力定律的立足点：将行星运动的椭圆轨道简化成圆形轨道来讨论。因为行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，所以太阳对行星的引力F是提供行星做圆周运动的向心力，即：,式中r是太阳和行星间的距离，v是行星
4、运动的线速度，m是行星的质量。,根椐圆周运动中的周期T和速度v的关系式：则有：,万有引力定律的推导及基本内容,则有下述结论：行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。,由,根椐牛顿第三定律，行星与太阳间的引力是相互作用的，是大小相等、性质相同的力（一对反作用力）牛顿认为，这个引力与行星的质量成正比，也应和太阳的质量成正比。即有：,写成等式有：,G是一个常量，对任何行星都相同。将此关系式用到月球绕地球运动及其它天体运动中，发现它们间的引力跟太阳与行星的引力遵循同样的规律。从而牛顿将此规律推广到自然界中任意两个物体之间，得到具有普遍意义的万有引力定律。,万有引力定律
5、的适用条件万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，可直接使用万有引力定律计算。当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间距离。当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力（此方法仅给学生提供一种思路。）,G在数值上等于,质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力,标准值,常用值,2引力常量及其测定,（2）万有引力常量G的值是由英国物理学家卡文迪许用扭秤装置首先准确测定的G的测定不仅用实验证实了万有引力的存在，同时
6、也使万有引力定律有了实用价值,5相距100 m的两艘万吨巨轮之间万有引力的大小相当于两只鸡蛋的重力，即仅约 N,1,6下列各力属于万有引力的是A、地球对人造卫星的吸引力；B月球对登月舱的吸引力C机车对列车的牵引力；D原子核对核外电子的吸引力,（AB）,7火星的质量是地球质量的m倍，它的公转轨道的半径是地球公转轨道半径的n倍，则太阳对火星的引力是对地球引力的 A mn倍 B mn2倍 C mn2倍 D.n3m1倍,（C）,8万有引力常量的单位是Akg2Nm2；BN kg2/m2；Cm2Nkg2；DNm2/kg2,（D）,3万有引力定律的应用,万有引力定律在研究天体运动中起着决定性的作用，它把地面
7、上物体的运动规律与天体运动的规律统一起来，是人类认识宇宙基础万有引力定律在天文学上有下列应用：,（1）用万有引力定律求中心星球的质量和密度,当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M，半径为R，环绕星球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有：,可得出,由r、v或r、T就可以求出中心星球的质量；如果环绕星球离中心星球表面很近，即满足rR，那么由,可以求出中心星球的平均密度。,（2）发现未知天体：,万有引力定律不仅能够解释已知的天体现象，而且可以根据力与运动的关系，预言天体的轨道从而发现新的天体,（3）万有引力和重力的关系,一般的星球都在不停地自转，星球
8、表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。星球表面的物体所受的万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力。即,地球表面的物体所受到的向心力f的大小不超过重力的0.35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等,故重力加速度,g随h的增大而减小,如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。,例1：
9、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g/，则g/g/为A、1；B、1/9；C、1/4；D、1/16。,解析：因为,所以g/g/=1/16,即D选项正确,例2.某行星自转周期是6小时。在该行星赤道上称得某物体的重力是同一物体在两极称得的重力的90%，求该行星的平均密度。,解：由已知，该星球赤道上物体所受的向心力是万有引力的10%，,而星球质量,由以上两式可得=3.03103kg/m3,9两个质量都是5kg的铅球，相距1m时，它们之间的万有引力与质量为 kg的物体在地球表面所受的重力相等（g取 98 ms2）,1.710-10,10，
10、设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动若测得土星到太阳的距离是r，土星绕太阳运动的周期是T，已知万有引力常量G，根据这些数据无法求出的量是 A、土星的线速度大小；B土星的加速度大小；C土星的质量；D太阳的质量；,（C）,11设地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，则地球的平均密度为,；,；,12地球绕太阳公转的速度为30kms，公转的轨道半径为1.5108km，由此求得太阳的质量约为 kg.（取两位有效数字）,2.01030,（A）,（4）双星,宇宙中有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它
11、们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。,由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同,由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的,因此大小必然相等,由F=mr2可得,即固定点离质量大的星较近。,列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆,当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质
12、量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。,第二节 人造卫星、宇宙速度,一、人造卫星,（1）使地球上的物体所受的万有引力全部作为向心力时，这个物体就可以以地心为圆心（或一个焦点）沿圆周（或椭圆）运动，成为一颗人造地球卫星,当卫星沿到地心距离为r的圆形轨道运行时由,可得卫星运动的加速度a；由,可得卫星运动的线速度；由,可得卫星运动的角速度。,不同圆轨道上卫星的向心加速度、速度、周期及角速度随轨道半径变化的规律如下表所列：,从表中可知:卫星运动的加速度大小与轨道半径平方成反比;轨道半径越大,卫星的加速度越小、线速度越小、角速度越小、周期越大,（2）应用卫星,
13、卫星的轨道：,应用卫星轨道有地球同步轨道、极地轨道和其他轨道，如图所示,有通信卫星、气象卫星、资源卫星、导航卫星、侦察卫星等,应用卫星种类：,近地卫星：近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近,，所以有,它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。,同步卫星：“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，即T=24h，根据可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可求得同步卫星离地面的高度为h=3.6107m5.6R地（36000km），而且该轨道必须在地球赤道的正上方，卫星的运转方向必须是由西向东。,13关于地球同
14、步卫星，下列说法中正确的是A、地球同步卫星只是依靠惯性运动；B质量不同的地球同步卫星轨道高度不同C质量不同的地球同步卫星线速度不同D所有地球同步卫星的加速度大小相同,（D）,例12.“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变
15、C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小,解：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。,由于摩擦阻力做负功，根据机械能定理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，根据势能定理，卫星的重力势能减小；由,可知，卫星动能将增大。这也说明该过程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正。,答案选 D,例13.如图所示，发射同步卫星的一种程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步圆轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入
16、同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来_。,解：根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v1v2、v3v4，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，它们对应的轨道半径r1r4，所以v4v1。把以上不等式连接起来，可得到结论：v3v4v1v2。（卫星沿椭圆轨道由PQ运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v3v2。）,例14.欧洲航天局
17、用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬5左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：这三个状态下卫星的线速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。,解：,比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2r3，所以v3v2；比较1、3状态，周期相同，即角速度相同，而r1r3由v=r，显然有v1v3；因此v1v3v2。,比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2r3，而向心加速度就是卫星所在位置处的重力加速度g
18、=GM/r21/r2，所以a3a2；比较1、3状态，角速度相同，而r1r3，由a=r2r，有a1a3；所以a1a3a2。,比较1、2状态，可以认为它们轨道的周长相同，而v1v2，所以T2T1；又由于3状态卫星在同步轨道，周期也是24h，所以T3=T1，因此有T2T1=T3。,14对人造地球卫星，下列说法正确的是,A由v=r，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，速度增大到原来的2倍；,B由,，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，,倍,速度增大到原来,C、由,，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，,向心力减为原来的,D由,，卫星轨道半径增大到原来的2倍时，,向心力减为原来的,（C）,倍,倍,15人造地球卫星的
19、轨道不可能 A、与地球450纬度线是共面同心圆 B、与地球自转轴是共面的圆 C与地球赤道是共面同心圆，且卫星相对地球表面静止 D与地球赤道是共面同心圆，且卫星相对地球表面运动,（A）,16我国先后发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星，运行轨道不同，前者采用“极地圆形轨道”，轨道平面与赤道平面垂直，通过地球两极，每12小时巡视地球一周，每天只能对同一地区进行两次观测；后者采用“地球同步轨道”，轨道平面在赤道平面内，能对同一地区进行连续观测两种不同轨道的气象卫星在运行与观测时A“风云一号”卫星观测区域比“风云二号”卫星观测区域小B“风云一号”卫星轨道半径比“风云二号”卫星轨道半径大C“风云一号
20、”卫星运行角速度比“风云二号”卫星运行角速度小D“风云一号”卫星运行线速度比风云二号”卫星运行线速度大,（D）,二、宇宙速度,1第一宇宙速度：,（1）人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度叫第一宇宙速度：,（2）第一宇宙速度是地球上的物体成为近地卫星所需的最小速度，若速度大于7.9km/s，卫星的轨道是椭圆不同的行星，由于质量和半径不同，其“第一宇宙速度”也会有所不同,2第二宇宙速度:,第二宇宙速度为11.2kms，这是使地球上的物体成为太阳的人造行星的最小速度,3第三宇宙速度:,要使物体挣脱太阳引力而飞离太阳系的最小速度，即第三宇宙速度是16.7 kms,19、1990年3月
21、，紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为32km，如果该小行星的密度和地球相同，则该小行星的“第一宇宙速度”约为 m/s,19.8,第三节 万有引力复习中应注意的几个问题,不同公式和问题中的r，含义不同:,万有引力定律公式,中的r指的是两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离。,向心力公式,中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径。,开普勒第三定律,中的r指的是椭圆轨道的半长轴。,向心加速度与重力加速度,既有区别又有联系:,在地球表面的不同纬度处，重力加速度的数值不相等，且分别与各处的向心加速度也不
22、同；,在距离地面一定高度处绕地心做匀速圆周运动的物体具有的向心加速度和该处的重力加速度相等。,人造地球卫星的运行速度和发射速度:,第一、第二、第三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同的发射速度。,当一质量为m的卫星以速度v绕质量为M的地球做半径为r的圆周运动时，如以无穷远处作为零势能点，则它的动能和势能分别为,卫星的总能量E=EK+EP=,a、对于人造卫星：卫星的轨道半径越大（离地越高），线速度越小，但是它的总能量却越大，发射速度就越大；,b、卫星离地面越高，周期越大；,例5:(1)在地球表面上物体的重力是否就是万有引力？(2)在地球表面重力加速度都相等吗？为什么？,解答:(1)地球在不断地自转
23、，地面上一切物体随地球都在作圆周运动，这些圆周平面垂直于地轴而和纬线相合。作匀速圆周运动的物体需要向心力，这个向心力是由地球对物体的引力来维持。因此地球上物体的重力应该等于它受到的地球引力和它随同地球自转所需向心力的矢量差。从上面分析可知，物体的重力是由地球对物体的引力而产生的。除两极（两极处无向心力）外，物体重力都不等于万有引力。应该指出，重力和万有引力的差值是不大的。以需要向心力最大的赤道为例，向心力仅是万有引力的0.34%，重力是万有引力的99.66%，相差是很小的。,解答:(2)在地球表面，赤道处的重力加速度最小。重力加速度随着纬度的增加而增加，到两极处的重力加速度为最大。地球表面上的
24、物体随地球自转作圆周运动所需要的向心力等于m2Rcos，其中Rcos，是物体在某纬度处作圆周运动的半径。向心力由万有引力提供，因此物体的重力等于万有引力和向心力两者的矢量差。即mg=F-F（F为万有引力，F 为某纬度处的向心力），如图所示。因为F=m2Rcos，可知在=0时，F 最大。在=90时，F最小。,例6:用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离开地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地面处的重力加速度，0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为,分析:人造卫星所受地球的万有引力即为卫星的重力，也就是，卫星绕地运转(视为匀速率圆周运动)所需要的向心力,
25、当人造卫星未发射前，在地面上时,由、两式可得,因为F引=F心,所以,答：本题正确选项为B、C。,由、两式可得,2凡是人造卫星的问题都可从下列关系去列运动方程，即:重力=万有引力=向心力,式中，r=R0+h，g/是高空h处的重力加速度。,说明：1万有引力定律所导出的公式虽然繁多，但它们都有一个共同的特点：各个力学参量都与卫星运转半径有关，即它们都是半径的函数。因此，不论已知什么或求什么，都把它化成半径r的函数，再通过半径r找联系。,例7:在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为M1和M2两恒星距离
26、为L。求：(1)两恒星转动中心的位置；(2)转动的角速度。,分析：如图所示，两颗恒星分别以转动中心O作匀速圆周运动，角速度相同，设M1的转动半径为r1，M2的转动半径为r2=L-r1；它们之间的万有引力是各自的向心力。,解答：（1）对M1，有,对M2，有,故M12r1=M22(L-r1),（2）将r1值代入式,例8：地球 和月球中心的就、距离是3.84108m，月球绕地球一周所用的时间是2.3108s 求：地球的质量。,分析 月球绕地球的运动可以近似地当作匀速圆周运动。设月球的质量为m月，它作圆周运动所需要的向心力就是地球对月球的万有引力,月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是,解答：地球对月球的万有引力,说明：根据地球卫星绕地球运行的参数（如周期、轨道半径），能推算出地球的质量，但不能推算卫星的质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推算太阳的质量，但不能推算行星的质量。,由（1）、（2）式得,9可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 A与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆B与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的,答案:CD,
