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1、,第八章 空间解析几何与向量代数,几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代数方法研究了几何问题.,讨论如下几个问题:,1.向量、向量的一些运算;,2.空间中的平面与直线;,3.空间中的一些曲面和曲线;,4.二次曲面.,在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维,第一节 向量及其线性运算,向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模 方向角 投影,向量,既有,向量表示,模长为1的向量.,零向量,模长为0的向量.,向量的模,向量的大小.,单位向量,或,或,或,的量.,又有,大小,方向,以,为起点,为终点的,有向线段.,一、向量概念,零向量
2、的方向任意.,记为,自由向量,不考虑起点位置的向量.,相等向量,大小相等且方向相同的向量.,负向量,大小相等但方向相反的向量.,记作,特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定,它们的夹角可在,之间任意取值.,向量,与向量,的夹角.记为,向量的夹角,规定，两向量所成的不超过 的角度称为,两向量平行,两向量共线,两向量平行又称两向量共线.,向量共面,K个向量的起点平移到一起，如果其终点和公共起点在一个平面上，称为向量共面.,特别的，零向量和任意向量平行,也和任意向量垂直.,两向量所成的夹角为0或.,记为,两向量垂直,记为,两向量所成的夹角为.,加法,（平行四边形法则）,（平行四边形法则有时也称为三
3、角形法则）,(1)加法定义,二、向量的线性运算,1.向量的加减法,(2)向量的加法符合下列运算规律,交换律,结合律,n个向量的加法运算：,前一向量的终点为后一向量的起点，相继作出,向量，,由第一个向量的起点指向最后一个向量的,终点的向量，就是n个向量的和向量.,减法,(3)减法定义,两个不等式：,特别的,即：当两个向量的起点移在一起，,由减向量的终点指向被减向量的终点.,可以看出，,以两向量为邻边的平行四边形的,两条对角线，分别表示它们的和和差.,2.向量与数的乘法(简称数乘运算),向量,向量的数乘其实就是向量的“伸缩”,向量,的乘积,规定为向量，且,同向,反向,为向量.,与数,的乘积,(2)
4、数与向量的乘积符合下列运算规律,结合律,分配律,第一分配律,第二分配律,同方向的单位向量.记为ea.,称为向量的单位化.,由向量,常用数乘运算说明,两向量平行关系(两向量共线的充要条件),平行,定理1,设向量,存在唯一的实数,证,由于两向量有数乘关系，所以两者平行.,(为什么？),唯一性得证.,定理1是建立数轴的理论根据.,P,在数轴上任取一点P，,于是，在数轴上的点P,和实数x之间建立了一一对应，x就称为点P的坐标.,定理1,设向量,存在唯一的实数,定理1是建立数轴的理论根据.,？,下列命题是否正确,(1),错,错,没有定义向量的除法.,向量不能比较大小,只有模才能比较大小.,例 试用向量方
5、法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,且,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,点O叫做坐标原点(或原点),三、空间直角坐标系,1.空间点的直角坐标,坐标系,或,坐标系.,横轴,纵轴,竖轴,定点,三个坐标轴的,正方向符合右手系,即以右手握住 z 轴,当右手的四个手指,从正向x轴以,角度,转向正向y 轴时,大拇指的指向,就是z轴的正向.,三、空间直角坐标系,1.空间点的直角坐标,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,对应点M.,任给向量,明显,2.向量的坐标,称为向量的坐标分解式,向量和有序实数x,y,z建立了一一
6、对应的关系，称,为向量的坐标，记为,向量的坐标表达式,向量的坐标和点的坐标表示方式不同.,注：,向量的坐标为(x,y,z),则表示为.,点M的坐标为(x,y,z),则表示为.,向径,称为点M关于坐标原点O的向径.,解,或,所求向量有两个,一个与,同向,一个与,反向.,求平行于向量,的单位向量,例,的分解式.,利用向量的坐标，可以对向量进行加减和数乘运算.,四、利用坐标作向量的线性运算,同理,即：向量的加减就是其坐标对应的加减.,即：数与向量相乘就是数与其坐标分别相乘.,按坐标表达式即为:,所以定理1也可以表述为：向量平行的充要条件为其坐标对应成比例.,解,设,为直线上的点,例,已知两点,以及实
7、数,在直线AB上求点M,使,同理,得,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模,因为,所以,向量模的坐标表达式.,为空间两点.,2.空间两点间点的距离,空间两点间距离公式,因为,所以,练习1,求证以 为顶点,的三角形是等腰的.,练习2,在z轴上求一点，使其与,距离相等.,练习3,已知两点,3.方向角与方向余弦,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为,非零向量 的方向角：,设,向量的方向余弦,因为x就是有向线段OP的值，,所以在直角三角形OPM中，,方向余弦的特征,特别地,即：以某向量的方向余弦为坐标的向量是和原向量同方向的单位向量.,或者说：以某向量的方向余弦为坐标的向量将原向量单位化.,解,
8、例,设有两点 计算,的模、方向余弦与方向角.,解,又因为点A在第一卦限，,例,与x轴和y轴的,夹角分别为,求A的坐标.,已知点A在第一卦限，并且,所以,解,设有向量,例,已知,它与x轴和y轴的,夹角分别为,如果P1的坐标为(1,0,3),求P2的坐标.,设向量,的方向角为,设P2的坐标为,P2的坐标为,这时称点P为点M在x轴上的投影.,记为,的分向量,且,称 为向量 在x轴上的分向量.,称实数x为向量 在x轴上的投影.,由此可见，向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影.,4.向量在轴上的投影,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,投影性质1,投影等于向量的模乘以,（可推广到有限多个）,两个向量
9、的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.,投影性质2,投影性质3,证明作为课下练习,解,求向量,例,x轴上的,投影及在y轴上的分向量.,在x轴上的投影为,在y轴上的分向量为,解,求,例,在x轴上的投影、在y轴上的分向量.,在x轴上的投影为,在y轴上的分向量为,的坐标分解式、坐标表达式、,坐标分解式,坐标表达式为,B,已知平行四边形的三个顶点 则与顶点B相对的第四个顶点D为().,练习,解,上两式相减得：,练习,设 均为非零向量,其中任意两个向量 不共线,但 与 共线,与 共线.证明：,证,为常数.,作业:,练习册 第八章，第一节 全部,注意：每周一交上一周作业，不接受补交！,课下练习:,教材 第八章，第一节 全部,注意：课下练习写在练习本上，上课必带！本周练习下周抽查！不接受补交！,测验:,每章有小测验，记入总分.,
