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1、1,第三节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向有限值时函数的极限,三、函数极限的性质,四、小结 思考题,2,【数列极限】,整标函数,【函数的极限】,有,两大类情形,3,单击任意点开始观察,一、自变量x时,的极限,1.【引例】,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,观察完毕,4,通过上面演示实验的观察:,【问题2】,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,是在 x 的过程中实现的,即x时,f(x)0.,2.【直观定义】在x时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x时的极
2、限.,5,3.【精确定义】,如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数X，使得当|x|X 时，恒有|f(x)-A|成立，则称 x 趋于无穷大时函数 f(x)以A为极限。记为：,【“-X”定义】分析定义,x+及x-情形,【定理】,6,4.【几何意义】,7,【例1】,【证】,5.【水平渐近线】,8,二、自变量 有限值时,函数 的极限,1.【引例】,9,它是在 的过程中实现的,【问题】,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,2.【直观定义】,10,3.【精确定义】,“-”定义,设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e 0,总存在 d 0,使得当0|x-x0|d,恒有|
3、f(x)-A|e成立，则称x x0时函数f(x)以常数 A为极限，记为,【注意】,意味着,（但不是函数关系，因不唯一）,11,4.【几何意义】,这表明:,12,【例2】,【证】,【例3】,【证】,13,【例4】,【证】,函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性,14,【例5】,【证】,15,5.【单侧极限】,【例如】,16,【左极限】,【右极限】,【注意】,17,左右极限存在但不相等,【例6】,【证】,【极限存在定理】,18,三、函数极限的性质,1.【唯一性】,【注】以下仅以 形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。,【证明】（略）（自证）,19,【定理2】,【证】,
4、有,则定理2得证,2.【局部有界性】,20,3.【局部保号性】,【证】,有,【证完】,容易推得下面更强的结论：,【定理3】,21,【定理3*】,【补证】,有,（1）,由（1）式得,22,【推论】,【证明】,利用定理3反证之（略）.,由（1）式得,【证完】,23,4.【子列收敛性】(函数极限与数列极限的关系),【定义】,【定理4】,24,【分析】,【证】,25,【例如】,【证完】,综合上述画线部分即得,26,函数极限与数列极限的关系（海因定理）,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,【说明】,常用海因定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在,【推广】,方法一：,找两子列，求得对应的两函数值子列极限值不相等.,或找一个子列，对应的函数值子列的极限值不存在.,方法二：,27,【例7】（补）,【证】,28,二者不相等,【补充练习】,【解】,取,和,但,由海因定理,故原极限不存在,令,29,四、小结,【数列、函数极限的统一定义】,(见下表),30,31,【思考题】,32,【思考题解答】,左极限存在,右极限存在,不存在.,
