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1、1,可降阶高阶微分方程,第六节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,2,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,3,例1.,解:,4,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力 F 均匀地减,直到 t=T 时 F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,得,5,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,6,型的微分
2、方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,7,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,再积分得,由,因此所求特解为,8,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点 A 到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,9,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,10,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积
3、分,得原方程的通解,11,例5.求解,代入方程得,两端积分得,故所求通解为,解:,练习：,的特解为,02，,12,M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,13,两端积分得,因此有,注意“”号,14,由于 y=R 时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,15,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,16,例7.解初值问题,解:令,代入方程得,
4、积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,17,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,18,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,19,速度,大小为 2v,方向指向A,提示:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对 x 求导,得,又由于,设物体 A 从点(0,1)出发,以大小为常数 v,备用题,的速度沿 y 轴正向运动,物体
5、 B 从(1,0)出发,试建立物体 B 的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,20,代入 式得所求微分方程:,其初始条件为,21,满足等式,设函数 在(0,+)内具有二阶导数，且,练习1,验证,22,高阶线性微分方程解的结构,第七节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第七章,23,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原
6、点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,24,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,25,求电容器两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.,提示:设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串,极板,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0。,26,串联
7、电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,化为关于,的方程:,故有,27,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,28,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,29,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.
8、,30,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,31,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,32,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且
9、,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶线性齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,33,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,34,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解.,故,35,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,36,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解
10、,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,37,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(自证),(89 考研),38,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,39,*四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,设的解
11、为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,40,令,于是,将以上结果代入方程:,得,故,的系数行列式,41,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,42,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,43,例5.,的通解为,的通解.,解:将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,44,例6.,的通解.,解:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,此题不需再作变换.,特征根:,设的特解为,于是得的通解:,故原方程通解为,(二阶常系数非齐次方程),代入可得:,45,四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,46,五、降阶法（补充）,齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式,得,则有,47,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,48,练 习 题,49,50,练习题答案,
