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1、1,第五节 极限运算法则,二、极限四则运算法则,四、小结 思考题,一、无穷小的性质,三、复合函数的极限,2,一、无穷小的运算性质,【教材上证明的是xx0时的情形】,【定理1】有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,【证】,考虑两个无穷小之和，且仅证 的情形,1）和的性质,3,【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,n个,【例如】,非无穷小,4,【证】,【定理2】有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小.,【分析】,（仅证 时）,（注：M为定值）,2）乘积的性质,设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,【证完】,故,即,是,时的无穷小.,5,【推论1】有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,【推论
2、2】常数与无穷小的乘积是无穷小.,【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,【例1】,【解】,由定理 2 可知：,【说明】y=0 是,的渐近线.,6,二、极限的运算法则,【定理3】,【证】,由无穷小运算法则,得,以下符号lim表示自变量的同一变化过程,推广到有限项,【声明】,1.函数极限运算法则,7,由第三节定理3*得,8,【推论1】,常数因子可以提到极限记号外面.,【推论2】,有界，,函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.,9,【定理4】,设数列,【注意】,定理3及其两个推论成立的前提条件是：,“f(x)与g(x)的极限存在”,若,则,2.数列极限运算法则,【提示】因
3、数列是一种特殊的函数,故此定理4 可由,定理3（x情形）与海因定理直接得出结论.,10,【定理5】,【证】,令,则,由定理3可知,由第三节函数极限的局部保号性的推论可知,【证完】,3.极限保序性,11,【例2】,【解】,求极限方法举例,12,【小结】,需特别注意,13,【解】,商的法则不能用,【例3】,【方法】无穷大的倒数法,x=1 时,分母=0,分子0,但因,14,【解】,【例4】,【方法】消去零因子法,在x1（但x1）时是相同的函数,故而极限相等,15,【例5】,【解】,【方法】抓大头（以消除不定性）无穷小量分出法,16,【小结】,以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,
4、然后再求极限的方法，称之.,【无穷小量分出法】,分式求极限一般有如下结果：,为非负常数),17,【例6】,【解】,先变形再求极限.,【方法】先变形再求极限法,18,【小结】无穷多项和或积的极限的一般解法是：,利用夹逼准则（第六节内容介绍）,把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之.,【特别注意】,含无穷多项和或积的极限，不能逐项求极限.应先写为有限表达式，再求极限.,19,【例7】,【解】,左右极限存在且相等,【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限.,20,三、复合函数的极限法则,【分析】,需证,有,1.【定理6】,21,【证明】,有,有,（1）,（2）,22,【意义】,（换元法
5、求极限）,（1）（2）两式同时成立,即,从而,此即,【证完】,23,【注意】,为方便记忆，定理6可简单的叙述为,内层函数极限存在、外层函数极限也存在，则复合后的函数极限必存在.(不严格),若定理6中,则类似可得,2、【方法】直接代入法,24,【例8】,【解】,【方法】先有理化后可变为定式,25,三、小结,1.【极限运算法则】,(1)无穷小运算性质,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,26,(4)复合函数极限求法,设中间变量,(2)利用无穷小运算性质求极限,(3)利用左右极限求分段函数极限,2.【求函数极限的方法】,(1)多项式、分式函数极限求法,1)xx0时,用代入法,(分母不为 0),2)xx0时,对,型,消去无穷小公因子,3)x时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,无穷小因子分出法,27,【思考题】,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？（提示：用反证法）,28,【思考题解答】,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,
