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1、第四章 几种重要的分布,在这一章中，我们将从分布列（或概率密度）、概率背景、数字特征等方面集中讨论一些重要的随机变量的分布。,一、常见的离散型随机变量的概率分布,（一）01分布,1、概率函数,2、数学期望和方差,3、概率背景,设随机试验 E 只有两种可能结果：A和，且P(A)=p(0p1)，。用 表示一次试验中A发生的次数，则 服从参数为 p 的01分布。,例如：掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,新生儿：“是男孩”，“是女孩”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,（二）二项分布,1、概率函数,2、概率背景,若随机变量 的概率函数为其中0p1，则称 服从参数为n，p的二项分布，记为。,用 表示
2、 n 重伯努利试验中事件A发生的次数，且P(A)=p(0p1)，则 服从参数为n，p 的二项分布，即。,例1、设生男孩的概率为 p，生女孩的概率为 q=1-p，令 表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,B(4，p),解：,概率函数为,解：,例2、将一枚均匀骰子抛掷3次，令 表示3次中出现“4”点的次数。,B(3，1/6),概率函数为,例3、某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中至多有3只是次品的概率.,解:设 为20只灯泡中次品的个数,则.,B(20,0.2),所以,特别地，当二项分布B(n,
3、p)的参数n=1时，B(1,p)就是参数为p的01分布。,说明,设试验E只有两个结果：A和.记P(A)=p,则P()=1-p,0p1,B(n,p),B(1,p),我们把试验E在相同条件下,相互独立地进行n次,且记 为n次独立试验中事件A发生的次数.为第 i 次实验中事件A发生次数。则 相互独立，且,下面我们考虑二者之间的关系,一个服从二项分布B(n,p)的r.v.总可以写成n个相互独立且服从同一个01分布B(1,p)的r.v.之和,3、二项分布的期望和方差,方法一：,同理可求得,故,方法二,因为一个服从二项分布B(n,p)的r.v.总可以写成n个相互独立且服从同一个01分布B(1,p)的r.v
4、.之和。即,且,4、二项分布的最可能值,设 B(n,p)，使概率P=k 取最大值的k，记作，称为二项分布的最可能取值。并且,np+p的最大整数部分,证明：,例4、设每发子弹打中飞机的概率为0.01，问500发子弹击中飞机最可能次数为多少？并求其相应概率。,B(500,0.01),解：设500发子弹击中飞机的次数为，则,np+p=5000.01+0.01=5.01,所以，最可能取值,=5.01=5,例5、课本82页例4。,（三）超几何分布,1、概率背景,设箱中有N个球，其中N1个白球，N2个黑球（N1N2N）。现从中不放回（即不重复）地抽取n个球，令 表示这n个球中白球（或黑球）的个数，则 服从
5、超几何分布。,抽球问题或产品检验问题,2、超几何分布的概率函数,3、超几何分布的期望和方差,例6、一个袋子中有5个红球3个白球，从中任取4球（无放回），若 表示取到的红球数，则 服从 分布，的概率函数为。,如果是从中有放回地取4球，则 服从 分布，的概率函数为。,超几何,二项,4、超几何分布与二项分布的关系,当 时，超几何分布以二项分布为极限。即,其中,例7、一大批种子的发芽率为90，今从中任取10粒，求播种后：（1）恰有8粒种子发芽的概率；（2）不少于8粒种子发芽的概率。,解:,设 表示10粒种子中发芽的种子数,则:,由于种子数很大：“一大批”，而选取数目为10，相对较小，于是近似地,所求为
6、:,服从超几何分布。,B(10,0.9)。,（1）P=8C810(0.9)8(0.1)2=0.1937,（2）P,(四)泊松分布,1、概率函数,2、概率背景,泊松分布常见于所谓稠密性的问题中。,例如：一段时间内，,车站来候车的旅客数；,原子放射粒子数；,用户对电话交换台的呼叫次数；,织布机上断头的次数。,零件铸造表面上砂眼的个数；,又例如：一定面积内,耕地上杂草的数目等。,3、泊松分布的期望和方差,同理求得,所以,解:,例8、某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次 数 服从参数=3的泊松分布.求:(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率.(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.,(1)P=3=(33/3
7、!)e-30.2240,(2)P2 5=P=2+P=3+P=4+P=5=(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169,解:,例8、某一城市每天发生火灾的次数 服从参数泊松分布,且平均每天发生火灾0.8次.求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.,P 3=1-P 3=1-P=0+P=1+P=2=1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,P(0.8),历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.,4、泊松分布与二项分布的关系,命题,对于二项分布B(n,p),当n充分大,p又很小（实际
8、应用中一般n100,p0.1）时,则对任意固定的非负整数k,有近似公式,即二项分布B(n,p)可由泊松分布P(np)近似.,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,解:,例9、某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率.,设 表示一天内出现故障的出租车数,则:B(400,0.02).,令=np=4000.02=8,于是近似地 P(8)。,所求为:P=0=b(0;400,0.02)(80/0!)e-8=0.0003355,
