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1、第二章 随机变量 第三节 二元随机变量,到现在为止，我们只讨论了一元r.v及其分布。但有些随机试验的结果只用一个随机变量来描述是不够的，需要用多个随机变量统一描述。例如,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标）来确定的等等.,考虑到一元随机变量实质是随机试验的结果和实数之间的一种对应关系，在此基础上不难理解n元随机变量就是随机试验的结果和n元实数组之间的一种对应关系。,定义2.5 如果每次试验的结果对应着一组确定的实数（,），它们是随着试验结果的不同而变化的n个随机变量，并且对任何一组实数x1,xn，事件“x1,xn”有确定的
2、概率，则称n个随机变量的整体（,）为一个n元随机变量（或n元随机向量）。,定义2.6 称n元函数 F(x1,xn)=P(x1,xn)(x1,xn)为n元随机变量的分布函数。,一元随机变量及其分布,多元随机变量及其分布,由于从二元推广到多元一般无实质性的 困难，因此后面我们将重点讨论二元随机变量。,本节内容是前二节内容的推广,一元随机变量,分布函数,概率分布或概率函数,概率密度函数,联合分布函数,联合概率分布,联合概率密度,边缘分布,条件分布,二元随机变量的整体性质,二元随机变量中各分量的性质和关系,二元随机变量的相互独立性,一、二元随机变量及其分布,1、定义 称二元函数 F(x,y)=P(x,
3、y)(x,y)为二元随机变量 的联合分布函数。,如果把 看成平面上随机点的坐标.取定，F(x0,y0)就是点 落在平面上以(x0,y0)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率.见右图阴影部分.,2、联合分布函数F(x,y)的性质,（1）Px1 x2,y1 y2,=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),由上面的几何解释,易见:随机点 落在矩形区域:x1 x2,y1 y2 内的概率,说明,（2）F(x,y)是变量x,y的单调不减函数.即对给定的yR,当x1x2时,F(x1,y)F(x2,y).同样,给定xR,当y1y2时,F(x,y1)F(x,y2).,(3
4、)x,y R，有 0F(x,y)1,（4）x,yR,F(-,y)=0，F(x,-)=0，F(-,-)=0，F(+,+)=1,其中:,至此，我们介绍了二维随机向量的分布函数及其性质.二维随机向量也分为离散型和连续型,下面我们分别讨论它们.,二、二元离散型随机变量的分布,1、定义 设二元随机变量 所有可能取值为有限个或可列个，且以确定的概率取各个不同的数对，则称 为二元离散型随机变量。,2、二元离散型随机变量的联合分布,设(xi,yj)(i,j=1,2,n,)是二元离散型随机变量 的所有可能取值，称 P=xi；=yj=pij(i,j=1,2,n,)为 与 的联合概率分布。,也可用联合分布列表示为,
5、3、联合概率分布的性质,（1）,（2）,（3）,例1、口袋中有3个球，依次标号为1，2，2，从口袋中任取一球不放回，再从袋中任取一球。以，分别记第一次、第二次取到的球号，求 的分布列。,例2、设离散型随机变量 在1，2，3，4四个数中等可能取值，随机变量 在1中等可能取值。求 的分布列。,1、二元连续型随机变量的联合概率密度,设 是二元随机变量，若存在一个二元非负函数 f(x,y)，使得 的分布函数F(x,y)对于任意实数x,y都有则称 是二元连续型随机变量，f(x,y)称为 与 的联合概率密度。,三、二元连续型随机变量的分布,2、联合概率密度的性质,（1）对于一切实数x,y，f(x,y)0；
6、,（2）,（3）对于任意的平面区域D，有,（4）在 f(x,y)的连续点处，,例3、设二元连续型随机变量 具有概率密度（1）D=(x,y)|x 1,y 3（2）D=(x,y)|x+y 3 求:,例4、设二元连续型随机变量 具有概率密度试确定常数C。,但是由于二元随机变量 的两个分量 和 也都是随机变量，自然可以考虑其各自的分布，以及 和 之间的关系等，这样一来就有了一些新增加的内容。接下来，我们就一一进行讨论。,到这里一元随机变量及其分布的内容都推广到了二元随机变量上来。,四、二元随机变量的边缘分布,（一）边缘分布函数,由于二元随机变量 的两个分量 和 也是随机变量，自然可以考虑其各自的分布，
7、这就是二元随机变量的边缘分布。,二元随机变量 的分量 和 的分布函数，称为是 关于，的边缘分布。,因为二元随机变量 的性质不仅与两个分量 和 各自的性质有关，还依赖于 和 的关系，而这一点无法由边缘分布体现。,从定义可以清楚看到边缘分布可以完全由联合分布确定，但是反之未必。,（二）边缘概率分布,定义 设 二元离散型随机变量 的联合概率分布为 P=xi；=yj=pij(i,j=1,2,n,),称,(i=1,2,n,)为关于随机变量 的边缘分布的概率函数。称,(j=1,2,n,)为关于随机变量 的边缘分布的概率函数。,（1）边缘分布 和 实质上就是二元随机变量 的两个分量 和（都是随机变量）的概率
8、函数，因而也满足概率函数的基本性质。,（2）在 的联合分布列中，就是直接对表的各行求和即可得到；是直接对表的各列求和得到。,例5、求出例1中二元离散型随机变量 的边缘概率函数。,例6、求出例2中二元离散型随机变量的边缘概率函数。,（三）边缘概率密度,设二元连续型随机变量 的联合概率密度为，称,分别为关于 与关于 的边缘概率密度。,说明：,回忆：一元随机变量 的概率密度：非负实函数 f(x)，使 的分布函数F(x)可以表示成,例7、设二元连续型随机变量 具有概率密度求边缘概率密度，。,思考：设二元连续型随机变量 的联合分布函数为求：（1）联合概率密度；（2）边缘概率密度，。,（四）条件分布,若,
9、称 在 的条件下,关于的条件概率密度,若,称 在 的条件下,关于的条件概率密度,五、二元随机变量的相互独立性,定义：设，为两个随机变量，如果对于任意实数 x,y,都有,回忆：事件A、B 相互独立,即它们的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积：,则称，相互独立，简称独立。,注意：,（1）若，是离散型的，则 与 相互独立 对一切 有,（2）若，是连续型的，则 与 相互独立,（3）若两个随机变量 与 独立，则它们 的函数 与 也独立。,例8、设二元离散型随机变量 的联合分布列如下，试证明 与 相互独立。,课堂练习：求试判断前面例1和例2中的两个随机变量 与 是否相互独立。,要判定两个离散型r.v独立，需对一切i,j=1,2,，都有 成立；不独立，则只需找到某个i,j,使得,例9、设二元连续型随机变量 的概率密度为试判断 与 是否相互独立。,例10、课本49页例5。,一元随机变量,分布函数,概率分布或概率函数,概率密度函数,联合分布函数,联合概率分布,联合概率密度,边缘分布,条件分布,二元随机变量的整体性质,二元随机变量中各分量的性质和关系,二元随机变量的相互独立性,
