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1、五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,两点间的距离公式:,与,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,3.向量在轴上的投影,在8.2简介,方向余弦的性质:,思考：,若,是向量与三坐标面的夹角，,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例8.设点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,一、两向量的
2、数量积,二、两向量的向量积,8.2 数量积 向量积*混合积,第八章,简单介绍定义及计算.,一、两向量的数量积,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,在物理学中,故,2.性质,为两个非零向量,则有,=,2.性质,(1),向量在数轴上的投影(简介),x,同理可定义向量在y,z轴上的投影,(2),3.点积的运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,例1.证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,4.数量积的坐标表示!,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例2.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,为).,求单位时间内流过该平面域的流体
3、的质量P(流体密度,例3.设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,平面域曲面域,且曲面上每一点处的流速是非均匀的(大小方向均变化)?,在第11章我们也能解决,这就是数学的魅力.,二、两向量的向量积,引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,右图三角形面积,S,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,(交换律不成立!),4.向量积的坐标表示式!,设,则,向量积的
4、行列式计算法,(行列式计算见上册P355附录1),例4.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,*三、向量的混合积(简介),1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2.向量关系:,思考与练习,设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦.,答案:,作业 P22 3,4,6,7,9(1);(2),10,12,预习8.5,备用题,1.已知向量,的夹角,且,解：,2 P50 题1(4)(5),为单位向量,且,解(4),则,三式相加得:,(4)向量,则,(5)已知,且,(5),=().,=().,同理,则原式=,=36.,36,3
5、.,证:,在线段AB的一侧有一动点P,以PB,PA为边向外做正方,形PBCD和PAEF,M为D,E的中点(如图).,证明:(1)PMAB;,(2)PM=AB.,A,B,C,D,P,E,F,M,设,垂直屏幕向外的单位向量为,所以PMAB;,且PM=AB.,4.,证明(1)任意三角形ABC的三条中线可构成 1;,B,C,A,证:(1)设ABC三边的中点分别为D,E,F(如图),F,D,E,(2)1 的三条中线构成的 三角形2与 ABC 相似,并求相似比,记,则,三条中线,所以三条中线可构成三角形,记为1,(2)1 的三条中线构成的 三角形2与 ABC 相似,并求相似比,(2)1三条中线,所以2与 ABC 相似,且相似比为,
