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1、1,二、函数极限的性质,一、函数极限的定义,函数的极限,2,一、函数极限的定义,如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作,函数极限的通俗定义,1.自变量趋于有限值时函数的极限,分析:当xx0时 f(x)A 当|x-x0|0时|f(x)-A|0 当|x-x0|变得足够小时|f(x)-A|能小于任意给定的正数e,注:当xx0时 xx0.,3,设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当x满足不等式0|xx0|时 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|那么常数A就叫
2、做函数f(x)当xx0时的极限 记为,函数极限的精确定义,当xx0时 f(x)A 当|x-x0|0时|f(x)-A|0 当|x-x0|变得足够小时|f(x)-A|能小于任意给定的正数e,注:当xx0时 xx0.,4,定义的简记形式,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e,设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当x满足不等式0|xx0|时 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为,函数极限的精确定义,注:d 与 e 有关,但不唯一.确定 d 时,d 越小越合适
3、.,5,分析,|f(x)A|(2x1)1|2|x1|,例1,因为 0,证明,|f(x)A|(2x1)1|2|x1|e,e 0,当0|x1|时 有,/2,只要|x1|e/2,要使|f(x)A|e,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时,|f(x)-A|e,注:d 与 e 有关,但不唯一.确定 d 时,d 越小越合适.,6,注:d 与 e 有关,但不唯一.确定 d 时,d 越小越合适.,例2 证明,分析:,当 0|x-1|d 时,的解集内.,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时,|f(x)-A|e,也即,可以判断,因此,7,证明,注:d 与 e 有关,但不唯一.确定 d 时,d 越小越合适.,例
4、2 证明,分析:,当 0|x-1|d 时,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时,|f(x)-A|e,有,取,因此,8,另证,例2 证明,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时,|f(x)-A|e,注:d 与 e 有关,但不唯一.确定 d 时,d 越小越合适.,有,因此,因,可设,即,要,只要,取,当,时,9,注:,单侧极限,xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0,xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0.,e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|e,精确定义,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时,|f(x)-A|e,10,单侧极限,e 0 d 0 当x0dxx0 有
5、|f(x)A|e,类似地可定义右极限.,结论,精确定义,e 0 d 0 当0|x-x0|d 时,|f(x)-A|e,11,这是因为,12,类似地可定义,如果当|x|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,0 M0 当|x|M时 有|f(x)A|,精确定义,结论,13,例4 证明,证明,则当 时,有,0 M0 当|x|M时 有|f(x)A|,注:M 与 e 有关,但不唯一.确定 M 时,M 越大越合适.,14,例5 证明,证明,有,因此,0 M0 当|x|M时 有|f(x)A|,注:M 与 e 有关,但不唯一.确定 M 时,M 越大越合适.,15,二、函数极限的性质,定理1(函数极限的唯一性),定理2(函数极限的局部有界性),如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界,定理3(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0),如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且 f(x)A(xx0)那么A0(或A0),推论,16,作 业 习题1.2(P44):7.(1)(5)(9)8.(2)(6)13.,
