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1、第三节 全微分,全微分的定义可微的条件连续、可导与可微的关系小结、作业,应用,一元函数 y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在
2、该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证:由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例:函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数 不一定可微!,即:,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,
3、注意到,故有,可微,连续,可导,?,?,?,在多元函数中,三者的关系如何？,二、连续、可导与可微的关系,TH1,TH2,可微的定义,TH1的反例,例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将 y,z 看成常数:,将 x,z 看成常数:,例,解,将 x,y 看成常数:,故,例,解,解,证,不存在.,证（1）,令,多元函数连续、可导、可微的关系,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,四、小结,1.微分定义:,2.重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.P72 题 1(总习题八),函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,2.选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,也可写作:,当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03,3.P73 题 7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.设,解:,利用轮换对称性,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(L.P245 例2),注意:x,y,z 具有 轮换对称性,作 业,习题8-3 1,(3)(4);2;3,
