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1、1,复习,1.,2,极限的求法：,1、代入法；,2、约零因式法；,3、无穷小的运算性质法,5、无穷小因子分出法,6、化无限为有限法,7、换元法,4、无穷小与无穷大的关系法,3,第六节 极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则；单调有界准则,4,准则：,(2),且,1、夹逼准则,（两边夹法则）,(1),证,则,使得,一、极限的存在准则,5,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意：,利用夹逼准则求极限，,(两边夹法则),准则 和准则 称为夹逼准则,6,例1,解,由两边夹法则得,7,二、两个重要极限,8,证毕,9,（令）,注意：,标准,变形,10,解,例3,
2、解,例2,11,解,例3,思考：,12,证明略,准则 单调有界数列必有极限.,2、单调有界准则,13,证,(舍去),14,该极限的证明省略,特点：,15,解,求幂指函数 型 的极限时，配1 配无穷大,注意：,求幂指函数的极限问题常用,16,补例,解,解,17,第七节 无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,观察各极限,18,1.定义:,19,注意：,1.无穷小的阶的高低是相对的；并依赖于极限过程的；,2.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法；,3.有两个重要的符号,20,例如,21,例1.证明:当,时,证:,22,补例2,解,23,证,必要性,充分性,意义：用等价无穷
3、小可给出函数的近似表达式,二、等价无穷小的性质,无穷小,24,例如,2.设在某个过程中，均为无穷小，则,25,例3,解,时，,26,三、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,说明：,即定理条件满足时，可以只代换分子或分母.,27,3.若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,即定理条件满足时，可以代换积中因式的无穷小.,说明：,即定理条件满足时，可以只代换分子或分母.,求极限的又一种好方法,注意适用条件.,28,补例4,解,例5.求,解:,29,例6,解,解,错,不能滥用等价无穷小代换.,切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,30,四、小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,不可比.,
