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1、第八章 空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,第一节 向量及其线性运算,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,2.向量的减法,三角不等式,(同向等号成立),(反向等号成立),3.向量与数的乘法,是一个
2、数,规定:,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,定理1.,设 a 为非零向量,则,(为唯一实数),三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,四、利
3、用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,例3.已知两点,在AB直线上求一点 M,使,及实数,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例5.在 z 轴上求与两点,等距,及,离的点.,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,计算向量,例8.设点 A 位于第一卦限,作业 P13：13,18,角依次为,求点 A 的坐标.,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,
