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1、高等数学,教 师：刘 彩 平Email：liucp,第六章 定积分的应用,第一节 定积分的元素法,第二节 定积分在几何学上的应用,第三节 定积分在经济上的应用,复习：定积分的元素法,(1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间a,b；,(2)写出部分量的近似表达式，即把区间分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为x,x+dx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值:Uf(x)dx,记,(3)以所求量U 的元素(微元)f(x)dx为被积表达式，在区间a,b上作定积分，得，,即为所求量U的积分表达式。,-称为U的微分元素(简称微元),这种分析方法称为元素法(或微元分
2、析法),第二节 定积分在几何学上 的应用,第六章,一、平面图形的面积,二、体积,三、平面曲线的弧长,二、体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.,1.旋转体的体积,f(x),a,b,曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转,连续曲线段,的立体体积时,则对应于小区间,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,旋转一周围成,的体积元素为,例8.计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b=a 时,就得半径为a
3、 的球体的体积,例9.求圆,绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.,解：所求体积为:,例10.求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,(94 考研),解:利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,设立体在x轴上的投影区间为a,b,立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).,立体的体积元素为,2.平行截面面积为已知的立体的体积,A(x)dx.,A(x),dV=A(x)dx,x,.,a,V,b,o,y,R,x,R,R,.,例11 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,(x,y
4、),截面积,A(x),.,例11 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积.,.,思考:可否选择 y 作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,提示:,R,x,o,y,R,例12 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.,R,x,o,x,A(x),A(x),V=,.,.,.,.,R,y,.,y,例12 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.,三、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意
5、光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),例13,长度.,因此,所求弧长为,解,例14 求摆线xa(sin),ya(1cos)的一拱(02)的长度.,解,于是所求弧长为,弧长元素为,例15.求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长.,解:,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,2.已知平行截面面面积函数的立体体
6、积,旋转体的体积,绕 x 轴:,绕 y 轴:,3.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,思考题:1.过曲线,上的点A作切线，使,该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积,求:(1)A点的坐标；(2)该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。,提示：,设切点的坐标为,过切点的切线方程为,利用面积关系的A点坐标为(1,1),利用体积关系得,所求体积为,分析曲线特点,2.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性,也合于所求.,为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,设平面图形 A 由,与,所确定,求,图形 A 绕直线 x2
7、 旋转一周所得旋转体的体积.,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,3.,若选 y 为积分变量,则,作业：,Page 285-12，15(2,3)，18，22，25，27，30,一、由边际函数求总函数,二、由变化率求总量,三、求收益流的现值和将来值,第三节 定积分的经济应用,在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量.这些总量,在一定条件下,也可用定积分来进行计算.,一、已知边际函数求总函数.,下面介绍两个常用问题:,若总量P(t)在某区间I上可导,且a,xI,则有,注1 在上式中,当x为产量Q,且a=0时,只要将P(x)代之以总成本C(Q)、总收益R(Q)、总利润L(Q),则有,注
8、2 当 x 从 a 变到 b 时,P(x)的改变量即为,一、由边际函数求总函数,例1.设某种产品生产Q个单位时的边际成本和边际收益分别为,（1）当固定成本C(0)=2时，求出总成本，总收益，总利润函数；,（2）当产量从10增加到100时，求总成本的增量；,（3）当产量为多少总利润可以达到最大？最大利润又是多少；,解:,因为,且驻点唯一，所以当Q=2时，,利润最大。且,二、由变化率求总量,解:,例2 某工厂生产某商品在时刻t的总产量变化率为,(单位/小时)。求由t=2到t=4这两小时的总产量。,已知净投资函数（流量）求资本总量,解,例3 设净投资函数,且当t=0时的总资本量为100（百万元），试
9、求：,（1）资本函数K(t)的表达式；（2）第9年末的资本总量；（3）从第四年末到第9年末这段时间间隔内总资本的追加部分的数量。,补充：由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程,而资本总量又是随时间的变化而变化的,所以资本总量是时间 t 的函数,即 K=K(t),称之为资本函数.,当资本函数 K=K(t)可导时,总资本形成率为,由经济学知资本总量的新增部分就是净投资.因而净投资 I=I(t)是一个关于 t 的连续函数,从而投资者在时刻 t处的净投资 I(t)即为总资本在时刻 t 处的瞬时增量.,而由第三章导数定义的引入知:一个量在某点的瞬时增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改变量的
10、极限(导数),即,此式两边从 0 到 t 作定积分,有,任意时刻t的总资本量 K(t)等于区间 0,t 内的新增资本 与初始时刻 t=0 时的资本（即初始资本)K(0)之和.,此公式的经济意义:,三、收益流的现值和将来值,收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流。,收益流量 收益流对时间的变化率。,若以连续复利r计息，一笔P元人民币从现在存入银行，t年后的价值（将来值）,收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。,收益流的将来值 将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。,若t年后要
11、得到R元人民币，则现在需要存入银行多少金额（现值）,若有一笔收益流的收益流量为（元/年），考虑从现在开始 到 年后这一时间段的将来值和现值。（以连续利率r计息）,分析 在区间 内任取一小区间，在 内所获得的金额近似为,从 开始,这一金额是在 年后的将来获得,因此在 内,收益现值,总现值,对于将来值,在 年后获得利息,从而在 内,收益流的将来值,故,总的将来值,例4 某栋别墅现售价500万元，首付20%，剩下部分可分期付款，10年付清，每年付款相同。若连续利率r是6%，求每年应付款多少万元？,解 每年付款相同，这是均匀流。设每年付款A（单位：万元），因全部付款的总现值是已知的，即现售价扣除首付的
12、部分,于是有,即,A=53.19万元,故每年应付款53.19万元。,例5 设某项投资计划在t=0时需要投入1000万元购置设备，在10年中每年收益为200万元，若连续利率为5%，购置的设备10年后完全失去价值，求收益资本价值W。,解 因为收益资本价值 W=收益流的现值-投入资金的现值所以,例6 假设以年连续复利率 0.1 计息,求收益流量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.,解,现值,将来值,练 习 题,答案 一、75；二、0.01,补充：旋转体的侧面积(有兴趣的自己看),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,取侧面积元素:,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意:,侧面积为,习题1.计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.,解:对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时,得球的表面积公式,习题2.求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S.,解:利用对称性,绕 x 轴旋转,
