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1、高 等 数 学,中国民航大学理学院 陶志,一、连续函数的算术运算,定理1,则,例如,第十节 连续函数的运算与性质,（证略）,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,（证略）,单调增加(或,单调增加(或单,例如,故,在其定义域内连续.,总之,反三角函数,在它们的定义域内都是连续的.,同理,复合函数的连续性,定理3,若,连续,则有,证,恒有,又,对上述,当,时,恒有,结合上述两步得,当,时,恒有,意义,定理4,且,则复合函数,注意,定理4是定理3的特殊情况.,例如,极限符号可以与连续函数符号互换;,例 1,求,解,例 2,求,解,例 3,求
2、,解,令,则,所以,例 4,求,解,因为,所以,三、初等函数的连续性,的;,且连续;,调且连续;,在,内连续.,在它们的定义域内是连续,定理5,基本初级函数,定理6,一切初等函数,定义区间是指,注意,1.,但在其,定义域内不一定连续.,例如,及,在定义域内是连续的.,在其定义区间内都是连续的.,包含在定义域内的区间.,初等函数仅在其定义区间内连续,在0点的邻域内没有定义,连续.,2.,定义区间).,初等函数求极限的方法(代入法),例 5,求,解,且,是其定义区间内的点,处连续,于是,幂指函数的极限,因为,故幂指函数可化为复合函数.,易见:,若,则,即,注意公式成立的条件,例6,求,称为幂指函数
3、.,解,定义,如果,有,四、闭区间上连续函数的性质,定义在闭区间上的连续函数有很多在理论和应用中都十分重要的性质，在此我们将给予详细的介绍。,例如,（最大值和最小值定理）,在闭区间上连续的函数,一定有最大值和最小值.,定理7,注意:若函数在开区间内连续,或在闭,区间上有间断点，,结论不一定成立。,例如,无最大值和最小值。,又如,也无最大和最小值。,定理8,（有界性定理）,在闭区间上连续的函数,一定在该区间上有界.,证,使得,有,取,定义,的零点.,（零点定理）,即至少有一点,使,（介值定理）,且在这区间的端点取不同的函数值,定理8,定理9,那么,在开,使得,证,设,且,及,由零点定理,使,由,
4、推论,在闭区间上连续的函数,必取得介于最大值,例 7,证明方程,少有一个实根.,证,令,又,由零点定理,使,即,方程,根,例 8,证,且,证明:,使得,令,而,由零点定理,使,即,例 9,证,证明方程,有分别包,当,两端,得,设,则,由零点定理知,一个零点,一个实根.,例 10,证,且,证明:,使,便可对,得到所需的结论.,存在,有,即,只要能找到一点,使,因,故对,由零,点定理知:,取实数,这样,而,使,由于,有一点,使,五、一致连续的概念,定义,若,当,时,就有,注:,一致连续性表明:,只要自变量的两个数值接近到一定的程度,就可使,对应的函数值达到所指定的接近程度.,一致连续性定理,上连续,则它在该区间上一致连续.,证略.,例 11,证,证明函数,连续.,因为,的任意两点,就有,所以对于任给,只要取,注:,由一致连续的定义可以知道,但是反过来不一定成立.,如果函数,例 12,证,的,但不是一致连续的.,试说明函数,上有定义,它在区间,续,应该,现在取原点附近的两点,显然,就有,因,但这时,不符合一致连续的定义,不是一致连续的.,总能使,有,作业：习题110,1；2（2）、（4）、（6）；4；8；9.,补充作业题：,总习题一,14；21；31；33；34.,课间,休息,
