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1、-1-,第三节 泰勒公式,一 泰勒公式二 几个常用函数麦克劳林公式三 泰勒公式应用举例,-2-,一 泰勒公式,1 问题的提出,则有,则有,-3-,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,为多项式函数:,误差,必须,-4-,即,所以,称,为,在,处的泰勒(Taylor)多项式。,-5-,例如,取,问题：,用,代替,误差是多少？,即,是什么？,-6-,定理1 泰勒(Taylor)中值定理,其中,(,在,与,之间).,上式称为,在,处具有拉格朗日余项的,阶泰勒公式，,3 泰勒公式,-7-,称为,在,阶拉格朗日余项.,处,证,且,因此,-8-,函数,及,在以,及,的区间上满足柯西中值定理
2、的条件,为端点,因此,-9-,则由上式得,注意:,因此拉格朗日余项又可写为,-10-,(3)当,时,具有拉格朗日余项的泰勒公式为,其中,或,(4),当,时，,-11-,定理2,其中,阶佩亚偌余项.,称为,在,处,-12-,例1求,的三阶麦克劳林展开式,解,（带拉格朗日余项）.,因此,-13-,例2求函数,在,二、四阶泰勒展式(带拉格朗日余项).,处的,解,二阶泰勒展式为,四阶泰勒展式为,-14-,例3 求函数,的三阶麦克劳林公式（带,佩亚诺余项）。,解,三阶麦克劳林公式为,-15-,二 几个常用函数的麦克劳林公式,-16-,-17-,-18-,-19-,-20-,特别,-21-,三 泰勒公式应用举例,1 近似计算,解,取,-22-,利用泰勒公式求极限,解,麦克劳林展式为,-23-,例6 问当,时，,是,的几阶无穷小?,解,例7求极限,解,原式,-24-,利用泰勒公式求高阶导数,解,因此,-25-,利用泰勒公式证明不等式,证,因此,所以,所以,
