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1、2023/10/20,高等数学课件,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二型曲线积分,第十一章,2023/10/20,高等数学课件,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,1)“大化小”.,2)“常代变
2、”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,3)“近似和”,4)“取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,2.定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分路径.,称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数,极限,机动 目录
3、上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,若 为空间曲线弧,记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果L是封闭曲线，记为,2023/10/20,高等数学课件,3.性质,(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程
4、为,则曲线积分,连续,证明:下面先证,存在,且有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L 为光滑弧,同理可证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,特别是,如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,定理 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数,则,解法2 取 y 为参数,则,从点,的一段.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例2.计算,其中 L 为,
5、(1)半径为 a 圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取 L 的方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例4.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数
6、学课件,例5.求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解:取 的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 的参数方程为,已知L切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,弧微分和方向余弦为,2023/10/20,高等数学课件,则两类曲线积分有如下联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,二者夹角为,例6.设,曲线段 L 的长度为s,证明,续,证:,设
7、,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例7.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,1.定义,2.性质,(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,4.两类曲线积
8、分的联系,对空间有向光滑弧:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,原点 O 的距离成正比,思考与练习,1.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,2.已知,为折线 ABCOA(如图),计算,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,补充题 1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.,沿直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,2.设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;,(2)计算曲线积分,解:(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入,2023/10/20,高等数学课件,(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
