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1、2023/10/20,高等数学课件,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,2023/10/20,高等数学课件,一、斯托克斯(Stokes)公式,定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见,不妨设 取上侧(如图).,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,则,(
2、利用格林公式),定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,因此,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式;,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意:如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,20
3、23/10/20,高等数学课件,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例1.利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个,解:记三角形域为,取上侧,则,边界,方向如图所示.,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例2.为柱面,与平面 y=z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针,计算,解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10
4、/20,高等数学课件,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有,(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关,(3)在G内存在某一函数 u,使,(4)在G内处处有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,同理可证,故有,若(3)成立,则必有,因P,Q,R 一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,定理2 目录 上页 下页 返回 结束
5、,2023/10/20,高等数学课件,与路径无关,并求函数,解:令,积分与路径无关,因此,例3.验证曲线积分,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,令,引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式:,旋度.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,rotation,2023/10/20,高等数学课件,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,
6、则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例4.,求电场强度,的旋度.,解:,(除原点外),这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,的外法向量,计算,解:,例5.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,*四、向量微分算子,定义向量微分算子:,它又称为(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.,则,机动 目录 上页 下
7、页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,则,高斯公式与斯托克斯公式可写成:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,内容小结,1.斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,在内与路径无关,在内处处有,在内处处有,2.空间曲线积分与路径无关的充要条件,设 P,Q,R 在内具有一阶连续偏导数,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,3.场论中的三个重要概念,设,梯度:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,散度:,旋度:,则,2023/10/20,高等数学课件,思考与练习,则,
8、提示:,三式相加即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,作业,P183 1(1),(3),(4);2(1),(3);3(1);4(2);6补充题:证明,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程(后称之,为纳维 斯托克斯方程),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
