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1、2023/10/20,高等数学课件,第九章,第三节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,2023/10/20,高等数学课件,一、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,2023/10/20,高等数学课件,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点 P 可微,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可微二元函数
2、,为,)的方向导数为,向角,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求,在原点,处沿非零矢量,解 用定义计算：,的方向导数。,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 l 与 x 轴同向,当 l 与 x 轴反向,思考：第二个结果为什么是负的？,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与可微之间的关系：,显然在原点即不可导也就自然不可微也。,可微性,依据方向导数的定义，有,2023/10/20,高等数学课件,例1.求函数,在点 P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例2.求函数,在点P(2,3)沿曲线,相切且朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例3.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦,而,同理得,方向,的方向导数。,在点P 处沿,求函,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数,2023/10/20,高等数学课件,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f(P)在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为函数 f 的等值线（等量线）.,2.梯度的几何意义,等高线,等值线,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则L*上点P 处的法向量为,同样,对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,2023/
5、10/20,高等数学课件,3.梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),指向函数增大的方向.,综上所述：,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,国家大剧院的屋顶为椭球面,表面光滑无摩擦，在无风的雨天，雨水落在上面向下,流，求雨滴下滑曲线的方程。,解,与待求投,分析,雨水会沿着z变化最快方向,也就是沿着与z的方向导数取得最大值的方向,上看即沿着平行于函数z的梯度方,向运行。,流下，,流下，,从平面,由于重力作用，,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,影曲线的切矢
6、量,平行，,空间曲线为：,方程,得平面投影曲线,2023/10/20,高等数学课件,例5.,证:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,三、物理意义,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电位场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,例6.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证:利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,机动 目录 上页 下页 返
7、回 结束,2023/10/20,高等数学课件,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M(1,1,1)处切线的方向向量,提示:,2
8、023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,提示：,2023/10/20,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示：,2.求函数,在椭球面,上点,处沿外法线方向的方向导数。,2023/10/20,高等数学课件,补充题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/10/20,高等数学课件,指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,2.函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,
