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1、第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,时,有,一、无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,例1.求,解:,利用定理 2 可知,说明:y=0 是,的
2、渐近线.,二、极限的四则运算法则,则有,证:因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立.,定理 3.若,推论:若,且,则,(P46 定理 5),利用保号性定理证明.,说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.,提示:令,定理 4.若,则有,提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.,说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),例2.设 n 次多项式,试证,证:,为无穷小,(详见书P44),定理 5.若,且 B0,则有,证:因,有,其中,设,无穷小,
3、有界,由极限与无穷小关系定理,得,因此 为无穷小,定理6.若,则有,提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由,定理3,4,5 直接得出结论.,x=3 时分母为 0!,例3.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:若,不能直接用商的运算法则.,例4.,若,例5.求,解:x=1 时,分母=0,分子0,但因,例6.求,解:,分子分母同除以,则,“抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数),(如 P47 例5),(如 P47 例6),(如 P47 例7),三、复合函数的极限运算法则,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,
4、因此式成立.,说明:若定理中,则类似可得,定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,例7.求,解:令,原式=,例8.求,解:方法 1,则,令,原式,方法 2,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(要求分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3.求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,作业,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,
