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1、第三章 弹性应变能量变化,弹塑性力学,陈从胜,学号：405906315006 电话：2062286810,1、概述,弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的变形上做功。本节主要涉及能量变化三个方面的概念和相关计算。即：单位体积应变能、应变能的分解和弹性应变余能。,理论的计算是在假设前提下进行的，它们是：,3、变形过程中没有热交换和温度的变化，外力所做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。,1、物体是连续且均匀。,2、外力缓慢施加，不会产生加速度和动能。,一、弹性应变能（1）,例：细长直杆，长度为L，横截面积为S，两端受拉力P作用。产生的伸长量为DL，外力作的功为：,一、一维状态,由于,图
2、1 非线弹性材料应变应力图,一、弹性应变能（2）,若设单位体积的应变能为w，则有：,可见，单位体积的应变能w代表应力-应变曲线中阴影部分的面积。,故外力对细长杆所作的总功为：,对线弹性材料，则有：,对于非线弹性材料而言，是任意时刻应力瞬时值；对线弹性材料而言，是应力平均值。应有=。,类似于力做机械功中力与距离的关系，对体积应变能求偏导后得到应力值：,图2 线弹性材料应变应力图,一、弹性应变能（3）,三向应力状态下，作用在表面的六个应力分量产生六个应变分量。由能量守恒原理，它所做功全部转化成应变能储存。各应力分量的合力只在其对应的应变分量所引起的变形位移上做功。,二、三维状态,总的应变能为各应力
3、分量对应的应变能之和，即：,图3 一点的应力状态,一、弹性应变能（4）,比较两式得：,一、弹性应变能（5）,令：,于是单位体积应变能可表示为,上式称为应变能增量，它是产生应变增量所应起的应变能的增加。,比较：3.33和3.34得本构方程能量形式,满足上式的弹性材料称为超弹性材料。,一、弹性应变能（6）,若材料的应变能只取决于应变状态，而与加载路径无关。即式3.32积分与路径无关。因此，应变能增量必须能全微分：,即,超弹性是描述一种应力应变关系非线性的材料的一种模型,三、超弹性,超弹材料是指材料应力和应变不再是线性对应的关系，而是以弹性能函数的形式一一对应。,一、弹性应变能（7）,与一般线弹性材
4、料弹材料，例如金属等不同。超弹材料变形过程中往往伴随着大位移和大应变，其本构关系不是线性的，且变形过程中体积保持不变。而前者只需几个参数就可以描述材料特性。,三、超弹性材料,常见的材料，例如橡胶、海绵或泡沫等材料存在应变能的材料称为超弹性材料。,一、弹性应变能（8）,特点：在任意加载-卸载循环下，材料不发生能量耗散。在外力作用下产生，远超过弹性极限应变量的应变，而且卸载时应变可恢复到原来状态的材料。,图4 超弹性材料制品,一、弹性应变能（9）,超过弹性极限应变后，超弹材料卸载时应变可恢复到原来状态的材料，而线弹性材料一般不能。,(b)橡胶应变应力图,（a）低碳钢应变应力图,图5 弹性材料和超弹
5、性材料应力应变图,依据式3.35得,代入本构方程式（式3.3b）后得：,一、弹性应变能（10）,由于偏导可以交换积分顺序，所以有：,四、线弹性体一般情况下应变能,即本构方程能量形式为：,一、弹性应变能（11）,再将 代入到式3.33后得,对线弹性材料，利用本构方程得到,一、弹性应变能（12）,或,二、应变能分解（1）,应变能可分解为体积改变能和形状改变能：,由于,应力第一不变张量为0,注：为克氏向量，类似于单位矩阵,在各项同性情况下，代入式（3.23a）和（3.24），可将应变能表示为：,二、应变能分解（2）,于是体积应变能可分解为：,式中，是应力第一不变张量，是应力第二不变张量。,形状改变能
6、,体积改变能,于是要求：,三、应变能与弹性常数取值限制（1）,材料从零应变状态到达某一应变状态外力必须做正功，否则与能量原理相违背。即：,当且仅当应变为0时取等号,代入关系式 得：,实际上绝大多数材料泊松比都大于0，即几乎所有物质的泊松比都介于0到0.5之间。,四、弹性应变余能（1）,在三维应力下，定义弹性余能为：,图1 弹性应变能与弹性应变余能,显然，由图可知：,这部分结论也可由分部积分得到，因此，弹性余能也仅却决于应力状态，与积分路径无关。,矩形面积,对于超弹性体，上式表明，应变能的应变改变值等于应变余能的应力改变值。,四、弹性应变余能（2）,与弹性应变能类似，对于弹性余能，也有,当材料线弹性时，有,弹性应变余能不具有明确的物理意义，但在第八章求虚应力与最小势能原理等方面有重要应用。引入概念后，可扩大讨论范围，计算方便。,本章小结,一、单位体积应变能:,1、一维情况,2、三维情况,2、1一般线弹性体,2、2各向同性线弹性体,二、应变能分解:,1、分解式,2、应力不变量表示,三、应变余能:,1、表达式,四、应力应变关系:,1、一维情况,2、三维情况,五、其他:,因此,谢谢！,
