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1、,数字信号处理(Digital Signal Processing),国家电工电子实验示范中心 数字信号处理课程组,第7章 FIR 数字滤波器设计,7.1 FIR DF 设计的窗函数法7.2 窗函数7.3 FIR DF 设计的频率抽样法7.4 FIR DF 设计的切比雪夫最佳一致逼近法7.5 几种简单形式的滤波器7.6 简单整系数滤波器7.7 差分滤波器,IIR数字滤波器：,有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器,只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是：直接从频域出发，即以某种
2、准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。,7.1 Fourier 级数法（窗函数法）,1.由理想的频率响应 得到理的；,2.由 得到因果、有限长的单位抽样响应;,3.对 加窗得到较好的频率响应。,理想频率响应,一、思路与方法：,设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：,则：,特点：无限长 非因果 偶对称,于是：,注意：H(Z)是因果的，且是线性相位的，即,？,这样：,于是：,使用了矩形窗,上式的的表达式及设计 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个，只要能积分得到，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器。,高通：,
3、令：,相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在 处的低通滤波器。,令：,相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器减去一个截止频率在 处的低通滤波器。,带通：,令：,：窗函数，自然截短即是矩形窗。当然也可以用其它形式的窗函数。,带阻：,例1.设计低通 FIR DF,令归一化截止频率 0.125,M10，20，40，用矩形窗截短。,结果如右图,接上例：M10分别用矩形窗和Hamming 窗,使用Hamming 窗后，阻带衰减变好，但过渡带变宽。,例：理想差分器及其设计,令：,理想差分器的频率特性：,理想微分器的频率特性：,奇对称，纯虚函数,实际相频特性,有关各种
4、差分器的性能，本 章将继续讨论,幅频：1 矩形窗2 哈明窗,例：设计 Hilbert 变换器,思考：能否用上一章的方法设计差分器和Hilbert变换器？,优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器；4.方法特别简单。,缺点：1.不易控制边缘频率；2.幅频性能不理想；3.较长；,二、FIR DF 设计的窗函数法的特点：,改进：1.使用其它类型的窗函数；2.改进设计方法。,三、关于对 截短的讨论,最小,所以，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的逼近。傅立叶级数是正交变换，这也体现了正交变换的性质。,窗函数法,周期信号展开为傅里叶级数,傅里叶系数,傅里叶级
5、数法,7.2 窗函数,窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、频谱、自相关函数等都需要截短。对窗函数提出那几方面的要求？,关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响：一个域相乘，在另一个域是卷积。,2.边瓣最大峰值（dB）,3.边瓣谱峰衰减速度（dB/oct）,对窗函数的技术要求：1.3 dB 带宽：主瓣归一化幅度降到 3 dB 时的带宽；或直接用。令 则 的单位为；,常用窗函数：,1.矩形窗,2.三角窗Bartlett窗,3.汉宁窗Hanning,4.汉明窗Hamming,窗函数,窗函数,7.3 FIR DF设计的频率抽样法,窗函数法：给定连续的理想的，用,得到因果的、具有线性相位的 F
6、IR DF,逼近,离散化,直接赋值,可指定：,如何指定,？,转移函数、频率响应和给定的 的关系：,用DFT系数作为权函数来表示设计出的,用插值的方法得到所要的滤波器：,插值函数,权重,线性相位,应为实数,为偶数：,为奇数：,其它赋值方法见书。当然，阻带内应指定为零。另外，为了得到好的幅频响应，在1和0之间加过渡点，如0.5。,7.4 用Chebyshev 最佳一致逼近设计 FIR DF 7.4.1 最佳一致逼近定理 7.4.2 利用最佳一致逼近理论设计 FIR DF 7.4.3 关于误差函数的极值特性 7.4.4 FIR DF 的四种表示形式 7.4.5 设计举例 7.4.6 滤波器阶次估计,
7、上述两种方法（窗函数法和频率抽样法）设计的 FIR DF 的频率响应都不理想，即通带不够平，阻带衰减不够大，过渡带过宽，频率边缘不能精确指定。因此我们要寻找新的设计方法。此方法即是Chebyshev 最佳一致逼近 法。该方法在数字信号处理中占有重要的定位，是设计 FIR DF 最理想的方法。但是，该方法的原理稍为复杂。,给定理想的，设计，使 是对 的“最佳”逼近。,对函数 f(x)逼近的方法：,目标：,插值法：寻找 阶多项式，使其 在 个点 上满足：,频率抽样方法,Chebyshev最佳一致逼近理论解决了 的存在性、唯一性及构造方法等问题。,将最佳一致逼近理论应用于FIR DF的设计，是数学和
8、信号处理理论相结合的又一典型范例。该方法可以设计出性能优良的FIR DF，是FIR设计的主要方法。该方法又称,McClellan-Parks 方法,一、切比雪夫最佳一致逼近定理,在 阶多项式的集合中，寻找多项式 使其相对其它所有的多项式 对 的偏差为最小：,最小最大原理,交错点组原理：,令：,误差最大值,误差曲线,是 最佳一致逼近的充要条件是，在 上至少存在 个交错点,所以：,是 的极值点，它们构成了一个“交错点 组”,Chebyshev 多项式：,在区间-1,1上存在 个点：,轮流使 取极值1，1。,是 的 阶多项式，最高项系数是，在所有阶多项式的集合中，和 0 的偏差为最小。因此，可用 为
9、误差多项式。,？,二、利用最佳一致逼近理论设计 FIR DF,理想滤波器,要设计的滤波器,四种情况下的“滤波器增益”都是实函数，也有四种表示形式。其一是：,线性相位FIR滤波器有四种形式：,我们用 逼近理想滤波器。显然，若能求出，则滤波器也就设计出来了。,定义加权函数：,在设计滤波器时，对通带和阻带往往有不同的要求，如通带要求特别平，这是需要牺牲阻带；反之，要想阻带衰减特别大，则需要牺牲通带。实现方法：给以不同的加权。,由交错点组定理：,注意，将频率分成了 个离散的点。分点在通带和阻带上，过渡带不考虑。目的是取得 个极值点。,方阵，可唯一地求出,然而，该方程的求解异常困难！,McClellan
10、.J.H&Parks.T.W 等于70年代初提出用数值分析中的Remez算法，靠一次次的迭代来求解最优的系数 及。从而达到滤波器设计的目的。,该方法不但可以用来设计低通、高通、带通、带阻等经典滤波器，而且可以用来设计差分滤波器，Hilbert变换器。不但可以给出好的幅频特性、线性相位，而且可以给出较为准确定边缘频率。,数字信号处理中最有名的算法之一！,Step1.先在通带、阻带频率轴上等间隔取 M2个频率点，计算出。它是相对第一次指定的交错点组产生的误差,A.,求出 后，利用插值公式，在不知 的情况下求出。,B.,当然，初次求出的 肯定不是最优的！,将求出的 代入,C.,可求出误差函数。,如果
11、第一次迭代即是最优，那么 应是 的极值点。当然，一次迭代是不够的。,完成第一次迭代！,Step2.检查是否有 的频率点（肯定有）。将出现这种情况的频率点和原来指定的频率点 中相距最近的点相交换（注意：这样的点可能不止一个），这样，就得到一组新的频率点组，当然，它们不再是原频率区间的等分。,Step3.将新的频率点组,再重复步骤2，又可得到一组新的交错点组：,如此重复迭代，每一次都是把新的局部极值点当作新的交错点组，所以，每一次的 都是递增的，最后收敛到自己的上限。再迭代一次，也不会再增加，频率点组也不会再移动，这时的 即是对 的最佳一致逼近。,Step4.将最优的 配上线性相位，作傅 立叶反变
12、换，即可得所设计滤波器的。,通带内的峰值偏差,最佳一致逼近是在通带与阻带内进行的，过渡带没有考虑。,迭代步骤,是阻带峰值偏差；,三、关于误差函数的极值特性（见书）四、FIR DF 的四种表示形式,把上述四种形式稍作改造，得到如下的统一形式，目的是便于编程：,例1：设计低通 FIR DF:,调整通带、阻带的加权及滤波器的长度。,设计结果,五、设计举例,参数调整对滤波器性能的影响：,例2：设计多带滤波器，抽样频率500Hz,在 50Hz、100Hz 及150Hz处陷波。,通带加权为8，阻带为1,-17dB,通带、阻带加权都是1,-25dB,六、阶次估计,设计滤波器之前，滤波器的长度（即阶次）是未知
13、道。显然，要求：通带越平，阻带衰减越大，过渡带越窄，滤波器的阶次越高。,另一估计公式：,估计出的阶次稍低,例如，对例1的第一种情况：,求出：,和原来给定的相同,7.5 几种简单形式的滤波器,一、平均滤波器二、平滑滤波器三、梳状滤波器,这一类滤波器性能不是很好，但滤波器简单，有时很实用，有的具有一些特殊的用途。,信噪比(SNR)与噪声减少比（NRR）,信噪比：,观察信号,信号,噪声,为了减少噪声，将 通过一个滤波器,噪声减少比（Noise Reduction Ration,NRR):,越小越好！,可以证明：,一、平均滤波器,点平均器,可以求出：,可见 N 足够大，即可就可以获得足够小的NRR。但
14、是，N 过大会使滤波器具有过大的延迟：群延迟=（N1）/2而且会使其主瓣的单边的带宽大大降低，这就有可能在滤波时使有用的信号 s(n)也受到损失。因此，在平均器中，N 不宜取得过大。,二、平滑滤波器,SavitzkyGolay平滑器：基于多项式拟合的方法，具体推导过程见教材。,5点2次（抛物线）拟合：,7点3次拟合：,在NRR和阶次N之间取得折中。MATLAB文件：sgolay.m,三、梳状滤波器,作用：去除周期性的噪声，或是增强周期 性的信号分量。,7.6 建立在极零抵消基础上的 简单整系数的滤波器,对信号作实时滤波处理时，有时对滤波器的性能要求并不很高，但要求计算速度快，滤波器的设计也应简
15、单易行，因而希望滤波器的系数为整数。特别是当用汇编语言编写程序时，更希望如此。采用极零抵消的方法，可以设计出简单整系数的低通、高通、带通和带阻滤波器。,1.低通,2.高通,单位圆上均匀分布M个零点,设置一极点，抵消掉z=1处零点,上述低通和高通滤波器的系数都是整系数（系数1/N可最后单独处理），如果认为幅频响应不满意，可以取,3.带通,实际应用,为保证分母取整数，要求,取整数,因此：,在要求整系数的情况下，对带通滤波器，其通带的中心频率收到限制。,4.带阻,设计方法,幅频：全通幅频带通幅频,相频：配置相频,令，设计50Hz陷波器，中心频率范围在,解：取,由于,因此增加一对共轭极点：,150Hz
16、,现在需要确定M:,?,具有相同相位,7.7 低阶低通差分滤波器,？,理想微分器：,理想差分器：,为了防止在高频端将噪声放大，取：,低通差分器：,差分器的一般形式：,差分器的抽样响应：,所以，差分器是奇对称的。现在的任务是确定系数,两点中心差分：,“最佳”差分器,逼近,误差：,得到最佳系数,得到最佳通带,最佳通带：,可求出：M2,可求出：M3,M2 和 3 时“最佳”差分器的幅频特性：,但是，上述“最佳”差分器的系数全是小数，我们希望得到整系数。实际上，人们从不同的角度，已给出了不同形式的整系数差分器。后来，人们还导出了“次最佳”的整系数差分器。,单纯 M 次差分；牛顿柯斯特差分；Lanczo
17、s差分（多项式拟合）；平滑化差分；最佳差分；,整系数,比较参数：,7.8 滤波器设计小结,IIR 滤波器的优点：1.好的通带与阻带衰减;准确的通带与阻带边缘频率;2.滤波时需要的计算量较少缺点:不具有线性相位，有可能存在稳定性问题。,FIR 滤波器的优点：1.可取得线性相位;2.无稳定性问题;缺点：滤波时需要的计算量较少,FIR,窗函数法频率抽样法一致逼近法简单平均简单平滑,设计方法简单，性能不够好,性能非常好,简单，实用，性能不够好,IIR,梳状滤波器极零抵消滤波器,特殊用途，周期性,简单实用，速度快,与本章内容有关的MATLAB文件：,产生窗函数的文件有八个：bartlett（三角窗）;2
18、.blackman（布莱克曼窗）;3.boxcar（矩形窗）;4.hamming（哈明窗）;5.hanning（汉宁窗）;6.triang（三角窗）;7.chebwin（切比雪夫窗）;8.kaiser（凯赛窗）;,两端为零,两端不为零,调用方式都非常简单请见help文件,稍为复杂,9fir1.m 用“窗函数法”设计FIR DF。调用格式：（1）b=fir1(N,Wn);(2)b=fir1(N,Wn,high);(3)b=fir1(N,Wn,stop);N：阶次，滤波器长度为N1；Wn：通带截止频率，其值在01之间，1对应 Fs/2b:滤波器系数。,对格式（1），若Wn为标量，则设计低通滤波器，
19、若Wn是12的向量，则用来设计带通滤波器，若Wn是1L的向量，则可用来设计L带滤波器。这时，格式（1）要改为:b=fir1(N,Wn,DC-1),或 b=fir1(N,Wn,DC-0)前者保证第一个带为通带，后者保证第一个带为阻带。格式（2）用来设计高通滤波器，格式（3）用来设计带阻滤波器。在上述所有格式中，若不指定窗函数的类型，fir1自动选择Hamming窗。,10fir2.m 本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅 频相应的FIR 数字滤波器。其调用格式是：b=fir1(N,F,M);F是频率向量，其值在01之间，M是和F相对应 的所希望的幅频相应。如同fir1,缺省时自动选用 Hammi
20、ng窗。,例：设计一多带滤波器，要求频率在0.20.3,0.60.8 之间为1，其余处为零。,设计结果如下：,N=30,90时幅频响应响应及理想幅频响应；,N=30,N=90,11.remez.m 设计Chebyshev最佳一致逼近FIR滤波器、Hilbert变换器和差分器。调用格式是：(1)b=remez(N,F,A);(2)b=remez(N,F,A,W);（3）b=remez(N,F,A,W,Hilbert);(4)b=remez(N,F,A,W,differentiator)N是给定的滤波器的阶次，b是设计的滤波器的系数，其长度为N1；F是频率向量，A是对应F的各频段上的理想幅频响应，
21、W是各频段上的加权向量。,F、A及W的指定方式和例7.4.1和7.4.2所讨论过的一样，唯一的差别是F的范围为01，而非00.5,1对应抽样频率的一半。需要指出的是，若b的长度为偶数，设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误，因此，最好保证b的长度为奇数，也即N应为偶数。,例1：设计低通 FIR DF:,b=remez(N,F,A,W),F=(0,0.6,0.7,1),A=(1,0),W=(1,10),12remezord.m 本文件用来确定在用Chebyshev最佳一致逼近设计FIR滤波器时所需要的滤波器阶次。其调用格式是：N,Fo,Ao,W=remezord(F,A,DEV,Fs)。F、A的含
22、意同文件remez，DEV是通带和阻带上的偏差；输出的是适合要求的滤波器阶次N、频率向量Fo、幅度向量Ao和加权向量W。若设计者事先不能确定要设计的滤波器的阶次，那么，调用remezord后，就可利用这一族参数调用remez,即 b=remez(N,Fo,Ao,W)，从而设计出所需要滤波器。因此，remez和remezord常结合起来使用。需要说明的是，remezord给出的阶次N有可能偏低，这时适当增加N即可；另外，最好判断一下，若N为奇数，就令其加一，使其变为偶数，这样b的长度为奇数。,13.firls.m 用最小平方法设计线性相位FIR滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应；14.fircls.m用带约束的最小平方法设计线性相位FIR滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应；15.fircls1.m 用带约束的最小平方方法设计线性相位FIR低通和高通滤波器。16.sgolay.m 用来设计 Savitzky-Golay FIR 平滑滤波器，其原理见9.1.1节 17.firrcos.m 用来设计低通线性相位FIR滤波器，其过渡带为余弦函数形状。,
