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1、工 程 力 学,8 梁的弯曲应力与强度计算,8 梁的弯曲应力与强度计算,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,8.2 弯曲正应力的强度条件,8.3 梁的剪应力及其强度条件,8.4 提高弯曲强度的措施,例如：AC和DB段。,横截面上有弯矩又有剪力。,称为横力弯曲(剪切弯曲)。,例如：CD段。,横截面上有弯矩没有剪力。,称为纯弯曲。,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力,平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。,单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。,横向线(mm、nn):仍保持为直线，发生了相对转动，
2、仍与弧线垂直。,实验观察变形,纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧缩短，凸侧伸长。,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）,中性轴垂直于纵向对称面。,设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维组成，由底部纤维的伸长连续地逐渐变为顶部纤维的缩短，中间必定有一层纤维的长度不变。,中性层：中间既不伸长也不缩短的一层纤维。,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,变形几何关系：,式(a)表明线应变与它到中性层的距离 y 成正比。,(a),设横截面的对称轴为y 轴，向下为正，中性轴为 z 轴（位置未定）。,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,物理关
3、系：,式(b)表明横截面上任意一点的正应力 与该点到中性轴的距离 y 成正比。,(a),因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知,(b),在中性轴上：y0，0。,将(a)代入上式，得,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,常量，,z 轴（中性轴）通过截面形心。,梁的轴线在中性层内，其长度不变。,静力学关系,(c),(d),(e),将式 代入式(c)，得,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,EIz 称为梁的弯曲刚度。,式中1/为梁弯曲后轴线的曲率。,将式(b)代入式(d)，得,(b),(d),(e),y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。,(自然满足),将式
4、(b)代入式(e)，得,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：,(b),将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为正，即为拉应力，若为负则为压应力。,一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。,只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的公式就可适用。,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力,在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。,虽然
5、横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。,横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应力 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即,引用记号,则,8.2 弯曲正应力的强度条件,对于宽为 b，高为 h 的矩形截面,对于直径为 D 的圆形截面,对于内外径分别为 d、D 的空心圆截面,8.2 弯曲正应力的强度条件,当中性轴为对称轴时，表示最大应力点到中性轴的距离，横
6、截面上的最大正应力为,称为抗弯截面模量,横截面上正应力的画法：,对于中性轴不是对称轴的横截面？,求得相应的最大正应力,z,M,例：长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN,（压）,例：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,竖放,横放,例：已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽钢。求最大拉应力和压应力。,解：（1）作弯矩图,（2）由型钢表查得，10号槽钢,（3）求最大应力,8.1 梁弯曲时横截面上的正应力,如果梁的最大工
7、作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为,对于抗拉和抗压强度相等的材料(如炭钢)，只要绝对值最大的正应力不超过许用弯曲应力即可。,对于抗拉和抗压不等的材料(如铸铁)，则最大的拉应力和最大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。,8.2 弯曲正应力的强度条件,例：图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN，如果=165MPa，校核梁的强度。,解：做弯矩弯矩图。,375KN.M,截面C为危险截面,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,于是有,满足强度要求,例：T字形截面铸铁梁如图。铸铁许用拉应力=30MPa,许用压应力=1
8、60 MPa。已知中性轴位置 y1=52 mm，截面对形心轴 z 的惯性矩为 Iz=763 cm4。试校核梁的强度。,解：,1.计算支反力,2.绘弯矩图,8.2 弯曲正应力的强度条件,3.强度校核,B截面：,C截面：,故该梁满足强度条件。,8.2 弯曲正应力的强度条件,例：20a工字钢梁。若，试求许可荷载 F。,解：（1）计算支反力,（2）作弯矩图,（3）确定许可荷载,8.2 弯曲正应力的强度条件,例：一矩形截面木梁，已知 F=10 kN，a=1.2 m。木材的许用应力=10MPa。设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选梁的截面尺寸。,解：1.计算支反力,2.作弯矩图,3.选择截面尺寸,A,B截
9、面最危险，该截面,8.2 弯曲正应力的强度条件,强度条件,所以,最后选用 125250mm2 的截面。,8.2 弯曲正应力的强度条件,8.3.1 梁的弯曲剪应力,1.矩形截面梁的弯曲剪应力,关于横截面上剪应力的分布规律，作以下两个假设：,(1)横截面上各点的剪应力的方向都平行于剪力FS；,(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。,在截面高度 h 大于宽度 b 的情况下，以上述假设为基础得到的解，与精确解相比有足够的准确度。,8.3 梁的剪应力及其强度条件,剪应力计算公式为,矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。,y=0，即中性轴上各点处：,即横截面上、下边缘各点处：,8.3 梁的剪应力及其
10、强度条件,2.工字形截面梁的弯曲剪应力,腹板上的剪应力,8.3 梁的剪应力及其强度条件,和,计算结果表明：,腹板内的剪应力近似计算公式,8.3 梁的剪应力及其强度条件,3.圆形截面梁的弯曲剪应力,(2)ab 弦上各点剪应力的垂直分量 y 为常量。,横截面上弯曲剪应力分布的假设,b为 ab 弦的长度；,Sz*为 ab 弦以上的面积对中性轴 z 的静矩。,(1)ab 弦上各点的剪应力都汇交于 D点；,8.3 梁的剪应力及其强度条件,在y=0处，即中性轴上各点处：,8.3 梁的剪应力及其强度条件,4.薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力,因为薄壁圆环的壁厚 t 远小于平均半径 R，故可以认为剪应力 沿壁厚均
11、匀分布，方向与圆周相切。,最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为,8.3 梁的剪应力及其强度条件,一般情况，在剪力为最大值的截面的中性轴上，出现最大剪应力,弯曲剪应力的强度条件,细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。,满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强度条件。,8.3.2 梁的剪应力强度条件,8.3 梁的剪应力及其强度条件,必须进行剪应力的强度校核的情况：,(1)梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷；以致梁的弯矩较小，而剪力很大。,(2)焊接或铆接的工字梁，如果腹板较薄而截面高度很大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时，对腹板应进行剪应力强度校核。,(3)经焊接、铆接或胶
12、合而成的组合梁，一般需对焊缝、铆钉或胶合面进行剪应力强度校核。,8.3 梁的剪应力及其强度条件,例：梁由3根木条胶合而成。，,试求许可荷载F。,（1）计算支反力,解：,（2）作剪力图和弯矩图,（3）确定许可荷载F,8.3 梁的剪应力及其强度条件,由弯曲正应力强度条件,由弯曲剪应力强度条件,由胶合面上剪应力强度条件,8.3 梁的剪应力及其强度条件,综上所述，胶合梁的许可荷载为,8.3 梁的剪应力及其强度条件,按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件,由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩 Mmax 的数值；二是
13、采用合理的截面形状，以提高弯曲截面系数W 的数值。,8.4 提高弯曲强度的措施,8.4.1 合理安排梁的受力情况,合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。,8.4 提高弯曲强度的措施,合理布置梁的支座，同样也可以降低梁的最大弯矩。,仅为原简支梁最大弯矩值的20%。,8.4 提高弯曲强度的措施,在工程实际中，图示的门式起重机的大梁，图示的圆柱形容器，其支撑点都略向中间移动，就考虑了降低由荷载和自重所产生的最大弯矩。,8.4 提高弯曲强度的措施,8.4.2 采用合理的截面形状,当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越小，梁
14、使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。,因此，合理的横截面形状应该是截面面积 A 较小，而弯曲截面系数 W 较大。我们可以用比值 来衡量截面形状的合理性。所以，在截面面积一定时，环形截面比圆形截面合理，矩形截面比圆形截面合理，矩形截面竖放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。,8.4 提高弯曲强度的措施,对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。,另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。,8.4 提高弯曲强度的措施,对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。,对这类截面，应使最大拉应力和最大
15、压应力同时接近材料的许用拉应力和许用压应力。,8.4 提高弯曲强度的措施,8.4.3 合理设计梁的外形,在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面的材料强度均未能得到充分利用。,为了减轻梁的自重和节省材料，常常根据弯矩的变化情况，将梁设计成变截面的。在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩较小处，采用较小的截面。,这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。例如：阶梯轴、鱼腹梁等。,8.4 提高弯曲强度的措施,从弯曲强度考虑，理想的变截面梁应该使所有截面上的最大弯曲正应力均相同，且等于许用应力，即,这种梁称为等强度梁。,8.4 提高弯曲强度的措施,
