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1、1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量）,2.司托克斯定理,3.汤姆逊定理,4.海姆霍兹定理,5.毕奥沙伐尔定理,6.兰金组合涡,第五章：旋涡理论(vortex theory),-旋涡运动的基本概念,旋涡理论,园盘绕流尾流场中的旋涡,园球绕流尾流场中的旋涡,园柱绕流尾流场中的旋涡,有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡,涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。,涡线(vortex line)：,一、涡线,涡管,旋涡强度,流线(streamline)：,流线上所有流体质点在同瞬时的流速矢量 与此线相切。,涡矢量与涡线相切,积分时将看成参数,涡线微分方程：,取涡线上一段微弧长,
2、该处的旋转角速度,流速与流线相切,流线微分方程：,取流线上一段微弧长,该处的速度,涡管vortex tube,截面积为无限小的涡束称为涡索（涡丝）。,涡丝vortex filament,流管,元流,截面积为无限小的流束称为元流,dnd,旋涡强度,表征流场中旋涡强弱和分布面积大小,如果 是涡管的截面则J为涡管强度,流量,二、速度环量（velocity circulation）,速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方向相同时（成锐角）为正,反之为负。,ABBA,漩涡理论,速度环量的其他表示形式：,速度环量单位为,漩涡理论,沿封闭周线C的速度环量,漩涡理论,对于无旋流场:,对于有旋场:,速度环量的
3、计算,1)已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量,漩涡理论,2.若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量,对于无旋场:,对于有旋场:,斯托克斯定理,漩涡理论,三、斯托克斯定理,沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即 J,漩涡理论,斯托克斯定理证 明三步曲：,1、微元矩形abcd,而,微矩形面积ds上的环量：,漩涡理论,2 有限平面,推广到有限大平面,（单连通区域）,3 任意曲面,区域在走向的左侧,双连通域的斯托克斯定理,漩涡理论,沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。,漩涡理论,(与积分路径方向一致时),=-,漩涡理论,（3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）,假设：,
4、（1）理想流体；,（2）质量力有势；,即,5-2 汤姆逊定理,漩涡理论,2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。,汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：,推论:流场中原来没有旋涡和速度环量的,就永远无旋涡和速度环量。原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变,2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压流场，非有势力。,漩涡理论,-海姆霍兹定理,海姆霍兹第一定理,（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）,或,涡面上,漩涡理论,（逆 顺）,涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始,不可能的情况,涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。,海姆霍
5、兹第二定理涡管保持定理,正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。,即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。,漩涡理论,海姆霍兹第三定理涡管旋涡强度不随时间而变,正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。,漩涡理论,海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于粘性流体。,海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。,因为流体的粘性将导致剪切、速度等参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时间衰减。,漩涡理论,-毕奥一沙伐尔定理,问题:已知旋涡场，能否确定速度场？,由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。,诱导速度场与电磁场的类比,磁 场 诱导
6、速度场带电导线 涡丝(线)电流强度 旋涡强度诱导磁场强度 诱导速度场,方向:垂直于ds和所在的平面，按右手法则确定。,流体力学中毕奥沙伐尔公式的形式,微元涡丝ds在P点的诱导速度,流体力学中毕奥沙伐尔公式的形式,单一有限长涡丝在P点的诱导速度,典型实例：无限长直涡丝,dx段对点的诱导速度,直涡丝,段对点的诱导速度：,方向垂直于纸面向外,点涡的诱导速度,（R为场点至点涡的距离）,这种速度场是无旋的（例3.4）,！点涡不对自身产生诱导速度,例5.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。,解:(a)：,点：,由BS定律,B点：,积分得:,时,代入方程得:1=2
7、=3=-4=,故，两点的运动方程为:,两点涡相对位置保持不变，它们同时沿方向等速向下移动。,点：,B点：,转动的角速度为:,情况(b),点和点的运动方程为：,-兰金组合涡,设流场中有一半径为的无限长圆柱形流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。,一、速度分布,（1）旋涡内部：,（r R）,速度呈线性分布,（2）旋涡外部,（rR）,外部流速与成反比。,二、压力分布,（1）旋涡外部：流动定常且无旋,拉格朗日积分式(略去质量力),（rR）,r=R，VVR,（2）旋涡内部:定常有旋流动,伯努利方程,流线为同心圆族不同流线上压力不同,欧拉方程（略去质量力）,求解过程,旋涡内部压力分布：,旋涡中心,旋涡中心
8、的相对压力为,旋涡外部:速度越大压力越小,旋涡内部:速度越小压力越小,旋涡外部压力分布：,结论：,兰金涡:（Rankine）,压力分布：,例5.2 设流场的速度分布为Vr，V=r，const，求涡线方程。,解：,容易验证:xy,涡线方程:,积分得:=1=2 垂直于xoy平面的直线,例5.3 在大圆内包含了A、BC、D四个旋涡,其强度分别为:A=B=C=D=,求:沿周线S的速度环量,解:由斯托克斯定理,S所围区域内速度环量为零，但该区域内并非处处无旋。,解：在极坐标下,在圆周r=R上,本章重点：,1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度,速度环量,圆柱形涡的速度分布，压力分布）,2.斯托克斯定理，汤姆逊定理，海姆霍兹定理前提结论,3.速度环量的计算：（1）直接由定义计算（2）由斯托克斯定理，计算漩涡强度,4.毕奥沙伐尔定理的应用诱导速度场的计算,作业105页 1（1），8，11，15,
