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1、流体力学 李忠贤南京信息工程大学 大气科学学院,引 言,一、流体力学的研究对象,流体力学是力学的一个分支，是研究水和空气之类的流体宏观运动规律，以及流体与固体之间相互作用规律的一门学科。,流体力学的基本内容。,流体的运动规律如何？,流体运动时对处于其中的其他物体产生的影响和作用如何？,问 题：,理论方法,二、研究方法,流体性质和流动特性的主要因素,理论流体力学,宏观物理模型或理论模型,控制流体运动的闭合方程组,流动问题转化为数学问题,问题的求解,物理规律,数学,存在问题：流体运动方程组通常为包含非线性项的微分方程所构成。由于数学上求解的困难，许多实际流动问题难以精确求解。,计算方法（数值方法）
2、,通过把流场划分为许多微小的网格或区域，在各个网格点或各小区域中求支配流动方程的近似解，通过数值计算的方法，近似求解运动方程组，最终得到方程数值解。,存在问题：数值方法求解其适用范围受数学模型的正确性、计算精度和计算机性能所限制。,实验方法：,主要通过设计实验，对实际流动问题进行模拟，并通过对具体流体运动的观察和测量来归纳流体运动规律。,实验流体力学,存在问题：从实验中得到的经验公式的普适性较差。,三、应用,流体力学与人类生活、工农业生产密切相关，广泛涉及工程技术和科学研究的各个领域，特别是与大气科学密切相关，已渗透到大气科学的各个领域，成为大气科学的重要的理论依据。地球上的大气和海洋是最常见
3、的自然流体，因而相应地形成了地球物理流体力学。研究大气和海洋运动规律的动力气象学、动力气候学和动力海洋学，都是流体力学领域中的不同分支，而流体力学是大气科学的重要的基础理论之一。,四、课程性质和学习目标,课程性质：专业基础课，是学习气象、环境等地球物 理学科的基础。,学习目标：理解和掌握流体力学的基本概念、方法。,五、主要教学内容和具体安排,第一章 基础概念第二章 基本方程第三章 相似原理与量纲分析第四章 涡旋动力学基础第五章 流体波动第六章 旋转流体力学第七章 湍流第八章 流体边界层简介,参考书目：,1.王宝瑞编著，1988年，气象出版社，流体力学2.吴望一编著，1983年，北京大学出版社，
4、流体力学3.李冀祺、马素贞编著，1983年，科学出版社，流体力学基础4.丁祖荣编著，2003年，高等教育出版社，流体力学,第一章 基础概念,第一节 流体的物理性质和宏观模型第二节 流体的速度和加速度第三节 迹线和流线第四节 速度分解第五节 涡度、散度和形变率第六节 速度势函数和流函数,主要内容,主要介绍流体力学的基本概念。(基础和核心内容）,一、物理性质,第一节 流体的物理性质和宏观模型,自然界的物质,凝聚态（分子间的平均间距不同）,固体,液体,气体,流体,与固体不同：流动性 粘性 压缩性,1、流动性（形变性）,流体的形状极易发生变化；流体的抗拉强度极小；只有在适当的约束条件下，才能承受压力；
5、处于静止状态的流体不能承受任何剪切力的作用，不论在如何小的剪切力作用下，流体将发生连续不断的变形。,流体容易发生形变的特性，称为流动性或者形变性。,2、粘 性,当流体层之间存在相对运动或切形变时，流体就会反抗这种相对运动或切形变，使流体渐渐失去相对运动或切形变；流体这种抗切变性或阻碍流体相对运动的特性，称之为粘性。,牛顿在自然哲学的数学原理(1687)中指出：相邻两层流体作相对运动时存在内摩擦作用,称为粘性力。,温度与粘性 粘性是分子之间的吸引力与分子不规则热运动引起的动量交换的结果。温度升高，分子之间的吸引力降低，动量增大；反之，温度降低，分子之间的吸引力增大，动量减小。,2、粘 性,对液体
6、，分子之间的吸引力是决定性因素，所以液体的粘性随温度升高而减小；对于气体，分子之间的热运动产生动量交换是决定性因素，所以，气体的粘性随温度升高而增大。,牛顿粘性定律,牛顿在自然哲学的数学原理中假设：“流体两部分由于缺乏润滑而引起的阻力，同这两部分彼此分开的速度成正比”。即在图中，粘性切应力为,上式称为牛顿粘性定律，它表明：,牛顿粘性定律已获得大量实验证实。,粘性切应力与速度梯度成正比；,(2)比例系数称动力学粘性系数。,当流体粘性很小，且相对速度不大时，流体的粘性力对流动的作用就不重要甚至可以略去，这种不考虑粘性的流体称为理想流体。,理想流体的概念,3、压缩性,流体的体积元在运动的过程中可以因
7、温度、压力等因素的改变而有所变化的特性，称为流体的压缩性。,按压缩性，通常可把流体分为,不可压缩流体可压缩流体,不同流体的压缩性：液体的分子间距离较小，作用力较大，所以在宏观上很难改变其体积，压缩性较小，因此，液体在常温常压的条件下压缩性很小，大多数情况下可以看作不可压缩流体来处理；气体分子较分散，分子间的距离较大，分子的作用力较小，宏观上讲，容易改变体积，气体的压缩性明显比液体大，通常需要看作可压缩性流体来处理;研究表明：由于速度小，压缩性小；速度大，压缩性大，因此对于流动不快的气体，而且在流动过程中的温差和压差均不大时，也可以近似地将其视为不可压缩流体。,流体模型分类,流体模型,按粘性分类
8、,无粘性流体,粘性流体,牛顿流体,非牛顿流体,按可压缩性分类,可压缩流体,不可压缩流体,其他分类,完全气体,正压流体,斜压流体,均质流体,等熵流体,恒温流体,实际流体是由大量的流体分子组成的，而流体分子之间存在空间间隙。对于这种由离散分子构成的真实流体，如何研究它的运动？通常我们所指的流体运动是指流体的宏观运动，不需要涉及到流体分子运动以及分子的微观结构。,二、流体的连续介质假设宏观理论模型,若以单个分子为研究对象，由于其运动的随机性，相应的物理量（如分子速度）随时间作随机变化，由于分子间存在间距，则物理量在空间上存在不连续性。,流体的微观和宏观特性,若研究对象扩大到包含大量分子的流体团，则流
9、体团性质表现为其中所有分子的统计平均特性。只要分子数足够大，统计平均值在时间和空间是连续的，这种特性成为流体团的宏观特性。,微观足够大，其统计平均可以反映稳定的宏观值的大量的流体分子所组成的流体微团称之为流体质点。,流体质点（或流点）的概念：,流体质点的线尺度大于分子运动的线尺度；宏观上充分小，流体质点的线尺度小于流体运动的线尺度。,流体质点 流体微团 流体微元,流体连续介质假设,把由离散分子构成的实际流体看成是有无数流体质点没有间隙连续分布构成的，这就是所谓的流体连续介质假设。,对于气象学或者大气科学，除高层稀薄大气外，通常也是将大气当作连续介质来考虑的。在50公里左右的高空大气，仍然可以作
10、为连续介质。在更高的地方，大气就不能看作连续介质。,流体力学研究是以流体的连续介质模型作为基本假设，在此基础上再考虑流体的形变性、压缩性、粘性等特性，并由此来研究流体运动及流体与固体之间的相互作用的。注意：流体力学研究是以流体微团（流体元）或者流点作为研究对象的。,第二节流体的速度和加速度,一、描写流体运动的两种方法,一个实际流体问题：河水流动的描述问题？,以河道中的某一个流点作为研究对象，跟踪流点的运动，测量并得到其运动状况及其速度，如果采用同样的方法，只要对河道中所有的流点进行跟踪测量，那么就可以得到整个河道中流动的流速分布，从而对河水的流动作出正确的描述；,针对河道中的某一固定的空间点，
11、测量出该空间点的流动速度，进而通过测量不同空间点河水的流动速度，最终得到整个河道中河水的流动情况。,1、拉格郎日(Lagrange)方法（质点的观点或随体观点）,着眼于流体质点，描述每一个流点自始至终的运动过程和它们的运动参数随时间的变化规律；综合所有流体质点运动参数的变化规律，得到了整个流体的运动规律。,个别流点的运动特征,整个流体运动特征,2、欧拉(Euler)方法（场的观点）,又称局地法，着眼于空间点，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，研究流点通过固定空间点时的运动参数随时间的变化规律，如果空间中每一个点的流体运动都已知，就可以知道整个流体的运动状态。,个别空间点运动特征
12、,整个流体运动特征,流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。,流体质点和空间点,1、Lagrange变量,二、两种变量,考虑确定的参考系，取流点的位置矢径为，且可以表示为：,O,x,y,z,假定某一流点的初始时刻 位置位于点：,则该流点不同时刻的位置矢径为，可以表示为：,分量形式：,变量x,y,z或参数 为Lagrange变量。,2、Euler变量,通常，流速矢应是空间点和时间的函数:,分量形式：,变量u,v,w为Euler变量。,若流场不随空间变化-均匀流场；反之，为非均匀场；若流场不随时间变化-定常（稳定）流场；
13、反之，为非定常（不稳定）场。,几个与流场 有关的基本概念,Lagrange变量,Euler变量,？,三、两种变量之间的转换,1、Lagrange变量转化为Euler变量,Lagrange观点下有：,据速度的定义，求它们随时间的变化率（流点速度）即：,第二，它表示在时间t经过空间点(x,y,z)处的流点流速,上式有如下含义：,第一，它表示原来位于(x0,y0,z0)处流点在时间t的速度,欧拉变量表明了流速在空间点 的分布。,而Euler观点下，对于固定的时间t：,？,例1-2-1 已知Lagrange变量，将其转换为Euler变量。,Lagrange变量 Euler变量的具体方法：,利用Lagr
14、ange变量，对时间 t 求偏导数，求解各流点的流速；,在速度表达式中，消去Lagrange参数（x0,y0,z0），即可得到Euler变量。,例1-2-2 已知Lagrange变量，将其转换为Euler变量。,把x,y,z当作t 时刻某流点所达到的位置，此时为t的函数；,2、Euler变量转化为Lagrange变量,Euler观点下，对于固定的时间 t：,转换,（1）求解微分方程组：,Euler变量 Lagrange变量的具体方法：,例1-2-3已知用Euler变量表示的流场速度分布为,试求其对应的Lagrange变量。,例1-2-4已知用Euler变量表示的流场速度分布为,试求在t=0时刻
15、位于（1,1）的流体质点的运动轨迹方程。,四、流体的加速度,Lagrange观点（流点的加速度）：,Euler观点（空间点的加速度）：,？,流点的加速度,Euler观点的流体质点加速度,哈密顿算符,其中,为平流加速度。,定义微商算符：,上式适用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如温度、气压等标量。,微商算符 的常用形式：,普通情况下：,物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。,则这种流动称为定常流动或稳定流场，此时，流场不随时间变化或者说流速的局地变化为零，流场与时间无关，仅仅是空间的函数。,假如流体运动满足：,例1-2-5已知用Euler变量表示的流场速度分布为,求流体
16、运动的加速度；并说明各种情况下产生加速度的原因。,习题1-2-1 已知流场为，该流场中温度的分布为，其中A为已知常数，求初始位置位于 的流点温度随时间的变化率。,第三节 迹线和流线,流体运动的几何图象？,迹线是某个流点在各时刻所行路径的轨迹线，或者说是流体质点运动的轨迹线。,一、迹 线,它描绘了某一确定流点在不同时刻所处的空间位置和运动方向。,迹 线-拉格郎日(Lagrange)观点密切相关,例1-3-1 假设流体运动的Lagrange变量为：,解：消去参数 t，即可得迹线方程：,求迹线方程？,问题：若已知欧拉变量的流点速度场,如何求流点迹线方程？,二、流 线,欧拉观点：采用流线来描述流动情况
17、的空间分布。流线：在某一固定时刻，曲线上的任意一点流速方向与该点切线方向相吻合，这样的曲线称为流线。注意：流线只反映流速方向，而不能反映流速大小。,设 为流线的线元矢量：,据流线的定义及矢量积的性质，流线满足：,式中x、y、z、t为四个相互独立的变量，积分时将t作常数处理。,积分 流线方程。,例1-3-2 流体运动由Euler变量表示为：其中 k 为常数：（1）求流线方程，并给出图示；（2）请问同一地点不同时刻流速是否相同？同一流点不 同时刻的流速是否相同？(3)求出 t=0时刻，过点（a，b，c）的迹线方程。,迹线和流线的关系？,迹线（拉格朗日观点）流线（欧拉观点）,三、迹线和流线的重合条件
18、,迹线和流线是两个不同的概念，通常情况下，二者的表现形式（物理图象）是存在差异的。,流场不随时间变化的定常流动条件下，二者是重合的。,例1-3-3 有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求其流线和迹线方程。,例1-3-4 已知速度场为 u=t+1,v=1，t=0时刻流体质点A位于原点。求：（1）质点A的迹线方程；（2）t=0时刻过原点的流线方程,迹线、流线的补充说明：,第四节速度分解,物体运动速度的构成：,经典力学中，质点的速度,只有平移速度,经典力学中，刚体的速度,有平移和旋转速度,流体质点运动速度的构成？,速度分析,流体质点的物理性质：流动性、粘性和压缩性等,平移、旋
19、转,形变,Tailor展开的简单回顾：,将 以参考点速度 作Tailor展开：(x方向为例),定义:,y方向作类似处理：,z方向作类似处理：,流体的形变率,形变张量矩阵,流体旋转角速度,于是，可将速度写为:,亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可分解为平动速度、转动线速度和变形运动引起的变形线速度三部分。,其中：,其中关于流体的旋转角速度和形变张量将在后面详细讨论。,流点的速度分析不同刚体，它只适用于很靠近的范围，且出现了形变线速度。刚体运动：转动是作为一个整体来进行的；流体运动：流点的转动角速度仅是一个局地量，流体域内各点可以以不同的角速度转动。,例1-4-1 已知流场：其中 m为常数，计算
20、坐标原点O 附近点 的转动线速度和形变线速度。,第五节 涡度、散度和形变率,亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可分解为平动速度、转动线速度和形变运动引起的形变线速度三部分。,涡度、散度和形变率,一、涡 度,定义涡度矢为矢量微商符 和速度矢 的矢性积，即：,涡度的定义,首先引入速度环流的概念,涡度的物理意义,称为速度环流，记作。,在流体中取任一闭合有向曲线，沿闭合曲线 对该闭合曲线上的流速分量求和：,表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。,当闭合曲线l向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）：,流体某点的涡度矢在单位面元的法向分量单位面积速度环流的极限值，它是度量流体旋转程度的物理量。,涡度与流体旋
21、转角速度的关系,二维水平运动：,考虑满足以下条件的流体运动,没有法形变,没有切形变,流体旋转,O,A,B,O,A,B,A,B,与涡度有关的几个问题：,A 直线有旋运动,B 无旋圆周运动,C 有旋圆周运动,特别说明：,流体涡度是一个局地概念；流点作圆周运动相当于围绕原点的“公转”；而流体涡度反映的则是流点自身的“自转”。,二、散度,定义散度为矢量微商符 和速度矢 的数性积，即：,散度,散度的定义,为了说明散度的概念及意义，引入流体通量F,应用奥高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有：,散度的物理意义,流体中的任一封闭曲面,流体散度即为单位体积的流体通量。,当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋向
22、于零：,流体净流出 源(辐散)流体净流入 汇(辐合),场的观点,流体中的任一封闭曲面为几何面时：,散度的物理意义：,封闭曲面向外膨胀 封闭曲面向内收缩,流体中的任一封闭曲面为流点组成的物质面时：,流体体积的变化,流点的体积膨胀或收缩的速度,取体积为 的小正方体，其单位体积的体积变率（体胀速度）：,体胀速度,可见，散度也是度量流点体积膨胀或收缩的一个量，反映单位体积的流点体胀速度。,三、形变率,流点可以看作既大又小的流体微团，它不但会转动和发生体积的膨胀、收缩，而且还会发生形变。流体的形变包括：法形变（轴形变）和切形变（剪形变）。,法形变,法形变率（线形变率）：即单位长度的速度变化率（单位长度单
23、位时间内的伸长和缩短率)。,=,M,O,M,O,散度，其实就是一种形变，称为体形变，散度的三个部分，分别表示了沿三个坐标轴伸长和缩短的形变率，称为轴形变或法形变。,二维平面流动：,二维散度面积形变,切形变,切形变是指流体质点线间夹角的相向改变率。,考虑满足以下条件的流体运动,无法形变,存在切形变,流体无旋转,O,A,B,O,A,B,A,B,O,A,B,A,B,流体质点线间夹角的相向改变率。,形变张量,形变张量,对称矩阵,习题1-5-1已知流体二维速度场为，分别计算涡度和散度。,习 题,习题1-5-2已知流体速度场分别为：,分别判断上述流体运动是否有旋、是否有辐散和形变？,第六节 速度势函数和流
24、函数,速度势函数,速度流函数,二维流动的表示,一、速度势函数,定义（速度势函数的引入及存在条件）,否则，则称之为涡旋流动：,据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：,对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如：,无旋流动，其速度矢可以用某函数 的梯度来表示，把函数 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。,引入势函数的优点,由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速大。,用势函数来描述流体运动,对于某一固定时刻为一空间曲面，称
25、为等势函数面或者等位势面。,例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示（其中，）的，请判断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。,势函数的求解 假如流体的散度为：根据势函数的定义有：其中，为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。,定义及存在条件,二、速度流函数,引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：,考虑二维无辐散流动，即满足：,其流线方程为：,引入函数,流速与该函数满足：,矢量形式：,（2）表征流体通量在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：,引入流
26、函数的优点,（1）减少表征流动的变量,A,B,引用流函数，并考虑：,表明:经过以为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。,同样，求解流函数的方法为：（1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。,（3）表征流体涡度,由涡度的定义，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。,三、二维流动,一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足：,无辐散涡旋流,无旋辐散流,
27、上式为大气动力学中广泛采用的形式。,习题1-6-1 已知二维流速场为：分别求势函数和流函数存在的条件。,课 后 习 题,习题1-6-2 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。,习题1-6-3 平面流动的流线方程为：；由流函数全微分；当取 常值时，也可以得到 试问两式是否等价？请说明理由？,本章总结,1流体的物理性质和宏观模型（概念）流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性；流点的概念和流体的宏观模型-连续介质假设。2流体的速度和加速度（理解、计算和应用）描写流体运动的两种观点：Lagrange观点和Euler观点 及其差别以及两种变量的相互转换；流体的加速度的定义、物理含义、计算；微商算符 的物理实质及其应用。,3迹线和流线（概念、理解、计算）迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质；迹线和流线方程求解的方法；迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件4速度分解（理解）亥姆霍兹速度分解定理的主要内容及其有关计算,5涡度、散度和形变率（概念、理解、计算）涡度、散度和形变率的定义，物理含义；涡度、散度和形变率的计算；形变张量的概念。6速度势函数和流函数（概念、理解）速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；速度势函数、流函数表示二维流动。,
