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1、第六节 速度势函数和流函数,速度势函数,速度流函数,二维流动的表示,一、速度势函数,定义（速度势函数的引入及存在条件）,否则，则称之为涡旋流动：,据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：,对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如：或,无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。,而引进了势函数后：,引入势函数的优点,由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。,用势函数来描
2、述流体运动,例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示（其中，）的，请判断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。,势函数的求解 假如流体的散度为：根据势函数的定义有：其中，为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。,求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：,（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。,（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。,定义及存在条件,二、速度流函数,考虑二维无辐散流动，即满足：,其流线方程为：,引入流体散度的概念
3、之后，可将流体运动分为：,根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:,流速与该函数满足：,矢量形式：,积分以上的全微分形式，可以得到：=常数,上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等值线。将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函数线。,对某一固定的时刻：一空间曲线流线方程积分曲线。,流速与该函数的关系曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。,（2）表征流体通量在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：,曲线法向方向的单位矢量定义为：,而：,引入流函数的优点,流速在曲线法向方向上的分量,（1）减少表征流动的变量,A,B
4、,引用流函数，并考虑：,或,表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。,同样，求解流函数的方法为：（1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。,（3）表征流体涡度,由涡度的定义，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。,三、二维流动,一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足：,无辐散涡旋流,无旋辐散流,上式为大气动力学中广泛采用的形式。,习题1-6-1 已知二维流速场为：分别求势函数和流函数存在的条件。,习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动？如存在，请举例说明。,课 后 习 题,习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。,习题1-6-4 平面流动的流线方程为：；由流函数全微分；当取 常值时，也可以得到 试问两式是否等价？请说明理由？,6速度势函数和流函数（概念、理解）速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；速度势函数、流函数表示二维流动。,本节总结,
